MediuStatistică descriptivăClasa 11

Problemă rezolvată de Statistică descriptivă

MediuStatistică descriptivăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră o serie statistică cu valorile xi:1,2,3,4x_i: 1, 2, 3, 4 și frecvențele relative fif_i exprimate în procente, astfel încât ∑i=14fi=100%\sum_{i=1}^{4} f_i = 100\%. Se știe că media aritmetică este xˉ=2.5\bar{x} = 2.5, că f2=2f1f_2 = 2f_1, și că f3=f4f_3 = f_4. Determinați frecvențele fif_i și calculați dispersia σ2\sigma^2 și abaterea standard σ\sigma a seriei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm frecvențele f1,f2,f3,f4f_1, f_2, f_3, f_4 în procente. Din condiții, avem f1+f2+f3+f4=100f_1 + f_2 + f_3 + f_4 = 100, f2=2f1f_2 = 2f_1, f3=f4f_3 = f_4, și media xˉ=1⋅f1+2⋅f2+3⋅f3+4⋅f4100=2.5\bar{x} = \frac{1 \cdot f_1 + 2 \cdot f_2 + 3 \cdot f_3 + 4 \cdot f_4}{100} = 2.5, deci 1⋅f1+2⋅f2+3⋅f3+4⋅f4=2501 \cdot f_1 + 2 \cdot f_2 + 3 \cdot f_3 + 4 \cdot f_4 = 250.
24 puncte
Înlocuim f2=2f1f_2 = 2f_1 și f4=f3f_4 = f_3 în ecuații. Din suma: f1+2f1+f3+f3=100⇒3f1+2f3=100f_1 + 2f_1 + f_3 + f_3 = 100 \Rightarrow 3f_1 + 2f_3 = 100. Din media: f1+2(2f1)+3f3+4f3=250⇒5f1+7f3=250f_1 + 2(2f_1) + 3f_3 + 4f_3 = 250 \Rightarrow 5f_1 + 7f_3 = 250. Rezolvăm sistemul: din prima ecuație, f3=100−3f12f_3 = \frac{100 - 3f_1}{2}; înlocuim în a doua: 5f1+7⋅100−3f12=250⇒10f1+700−21f1=500⇒−11f1=−200⇒f1=20011≈18.18%5f_1 + 7 \cdot \frac{100 - 3f_1}{2} = 250 \Rightarrow 10f_1 + 700 - 21f_1 = 500 \Rightarrow -11f_1 = -200 \Rightarrow f_1 = \frac{200}{11} \approx 18.18\%. Atunci f3=100−3⋅200112=100−600112=1100−600112=50022=25011≈22.73%f_3 = \frac{100 - 3 \cdot \frac{200}{11}}{2} = \frac{100 - \frac{600}{11}}{2} = \frac{ \frac{1100 - 600}{11} }{2} = \frac{500}{22} = \frac{250}{11} \approx 22.73\%. Deci f2=2f1=40011≈36.36%f_2 = 2f_1 = \frac{400}{11} \approx 36.36\%, f4=f3=25011≈22.73%f_4 = f_3 = \frac{250}{11} \approx 22.73\%.
33 puncte
Calculăm dispersia: σ2=∑i=14fi(xi−xˉ)2100\sigma^2 = \frac{ \sum_{i=1}^{4} f_i (x_i - \bar{x})^2 }{100}. Avem (xi−2.5)2(x_i - 2.5)^2: pentru x=1x=1, (1−2.5)2=2.25(1-2.5)^2 = 2.25; pentru x=2x=2, (2−2.5)2=0.25(2-2.5)^2 = 0.25; pentru x=3x=3, (3−2.5)2=0.25(3-2.5)^2 = 0.25; pentru x=4x=4, (4−2.5)2=2.25(4-2.5)^2 = 2.25. Atunci σ2=f1⋅2.25+f2⋅0.25+f3⋅0.25+f4⋅2.25100=2.25(f1+f4)+0.25(f2+f3)100\sigma^2 = \frac{ f_1 \cdot 2.25 + f_2 \cdot 0.25 + f_3 \cdot 0.25 + f_4 \cdot 2.25 }{100} = \frac{ 2.25(f_1 + f_4) + 0.25(f_2 + f_3) }{100}. Înlocuind valorile, σ2=2.25(20011+25011)+0.25(40011+25011)100=2.25⋅45011+0.25⋅65011100=1012.511+162.511100=117511100=11751100=4744≈1.0682\sigma^2 = \frac{ 2.25( \frac{200}{11} + \frac{250}{11} ) + 0.25( \frac{400}{11} + \frac{250}{11} ) }{100} = \frac{ 2.25 \cdot \frac{450}{11} + 0.25 \cdot \frac{650}{11} }{100} = \frac{ \frac{1012.5}{11} + \frac{162.5}{11} }{100} = \frac{ \frac{1175}{11} }{100} = \frac{1175}{1100} = \frac{47}{44} \approx 1.0682. Abaterea standard σ=σ2=4744\sigma = \sqrt{ \sigma^2 } = \sqrt{ \frac{47}{44} }.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Statistică descriptivă

Ușor#1Statistică descriptivăProbabilități
Rezultatele unui test la matematică pentru 100 de elevi au o medie de 75 de puncte și o abatere standard de 10 puncte, distribuite normal. Aflați probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să obțină între 70 și 80 de puncte. În plus, determinați numărul așteptat de elevi care obțin peste 85 de puncte.
Ușor#2Statistică descriptivăProbabilitățiMatematică aplicată
Un sondaj privind venitul lunar al familiilor dintr-un oraș a arătat că media este de 5000 lei și abaterea standard este de 1000 lei. Presupunând că venitul urmează o distribuție normală, calculați probabilitatea ca o familie aleasă aleatoriu să aibă un venit între 4000 și 6000 lei. Utilizați tabelul valorilor funcției Laplace, unde Φ(1)=0.3413\Phi(1) = 0.3413.
Ușor#3Statistică descriptivăMatematică aplicată
Se înregistrează timpii de reacție (în milisecunde) pentru 15 subiecți: 210, 215, 208, 212, 220, 205, 218, 214, 209, 213, 217, 211, 216, 207, 219. Calculați media, mediana, modul și deviația standard a acestor date. Analizați simetria distribuției.
Mediu#4Statistică descriptivăMatematică aplicată
O companie a înregistrat venituri lunare (în mii de lei) pe un an: [12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40][12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40]. Calculați media, dispersia și abaterea standard a acestor venituri. Apoi, determinați intervalul de încredere pentru media populației, presupunând că datele provin dintr-o distribuție normală și nivelul de încredere este de 95%95\%. (Se cunoaște că pentru 1111 grade de libertate, valoarea-tt este 2.2012.201.)
Vezi toate problemele de Statistică descriptivă →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Statistică descriptivă cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.