MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați: a) Domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Intervalele de monotonie și punctele de extrem local. c) Intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul este R\mathbb{R}; se verifică asimptote: nu există asimptote verticale, iar pentru orizontale, lim⁡x→±∞f(x)=±∞\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty, deci nu există; pentru oblice, lim⁡x→±∞f(x)x=∞\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty, deci nu există asimptote oblice.
24 puncte
Se calculează f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x; se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 obținând x=0x=0 și x=2x=2; se studiază semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty) (funcție crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0,2) (funcție descrescătoare); puncte de extrem: maxim local în x=0x=0 cu f(0)=2f(0)=2, minim local în x=2x=2 cu f(2)=−2f(2)=-2.
34 puncte
Se calculează f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6; se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0 obținând x=1x=1; se studiază semnul: f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x∈(−∞,1)x \in (-\infty,1) (concavă), f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x∈(1,∞)x \in (1,\infty) (convexă); punct de inflexiune în x=1x=1 cu f(1)=0f(1)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.