MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local, și calculați integrala definită ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=−e−xsin⁡x+e−xcos⁡x=e−x(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x). Determinarea punctelor critice: f′(x)=0⇒cos⁡x=sin⁡x⇒x=π4+kπf'(x) = 0 \Rightarrow \cos x = \sin x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}. Pe [0,∞)[0, \infty), pentru k=0k=0, x=π4x=\frac{\pi}{4} este punct critic.
23 puncte
Studiul semnului derivatei: pe [0,π4)[0, \frac{\pi}{4}), cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x, deci f′(x)>0f'(x) > 0, funcția este strict crescătoare. Pe (π4,π](\frac{\pi}{4}, \pi], cos⁡x<sin⁡x\cos x < \sin x, deci f′(x)<0f'(x) < 0, funcția este strict descrescătoare. Astfel, x=π4x=\frac{\pi}{4} este punct de maxim local.
34 puncte
Calculul integralei: ∫0πe−xsin⁡x dx\int_0^{\pi} e^{-x} \sin x \, dx. Se integrează prin părți: fie u=e−xu = e^{-x}, dv=sin⁡x dxdv = \sin x \, dx, atunci du=−e−x dxdu = -e^{-x} \, dx, v=−cos⁡xv = -\cos x. Integrala devine: −e−xcos⁡x∣0π−∫0πe−xcos⁡x dx=e−π+1−∫0πe−xcos⁡x dx-e^{-x} \cos x \big|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^{-x} \cos x \, dx = e^{-\pi} + 1 - \int_0^{\pi} e^{-x} \cos x \, dx. Integrând ∫0πe−xcos⁡x dx\int_0^{\pi} e^{-x} \cos x \, dx prin părți din nou, se obține sistemul care duce la rezultatul final: 12(1−e−π)\frac{1}{2}(1 - e^{-\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.