MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realePolinoameInducție matematică
Fie (xn)n≥0(x_n)_{n\ge 0} șirul definit prin x0=1x_0=1, x1=3x_1=3 și xn+2=4xn+1−4xnx_{n+2}=4x_{n+1}-4x_n pentru n∈Nn\in\mathbb{N}. 1) Determinați formula termenului general xnx_n sub forma xn=(an+b)2nx_n=(an+b)2^n, unde a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}. 2) Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈Nn\in\mathbb{N}, xnx_n este divizibil cu 2n2^n.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se rezolvă ecuația caracteristică r2−4r+4=0r^2-4r+4=0, cu rădăcina dublă r=2r=2. Termenul general este xn=(an+b)2nx_n=(an+b)2^n. Din condițiile inițiale: x0=b=1x_0=b=1 și x1=(a+b)2=3x_1=(a+b)2=3, deci a+1=1.5a+1=1.5 și a=0.5a=0.5. Obținem xn=(0.5n+1)2nx_n=(0.5n+1)2^n.
26 puncte
Pentru n=0n=0: x0=1x_0=1, care este divizibil cu 20=12^0=1. Ipoteza: xk=(0.5k+1)2kx_k=(0.5k+1)2^k este divizibil cu 2k2^k. Se demonstrează pentru n=k+1n=k+1: xk+1=(0.5(k+1)+1)2k+1=(0.5k+1.5)2k+1x_{k+1}=(0.5(k+1)+1)2^{k+1}=(0.5k+1.5)2^{k+1}. Din ipoteză, 0.5k+10.5k+1 este întreg (deoarece xk/2kx_k/2^k este întreg), deci 0.5k+1.5=(0.5k+1)+0.50.5k+1.5=(0.5k+1)+0.5 nu este neapărat întreg, dar xk+1=2⋅(0.5k+1.5)2kx_{k+1}=2\cdot(0.5k+1.5)2^k. Trebuie arătat că xk+1x_{k+1} este multiplu de 2k+12^{k+1}; se poate observa că xk+1=4xk−4xk−1=4⋅2k⋅(0.5k+1)−4⋅2k−1⋅(0.5(k−1)+1)=2k+1⋅[2(0.5k+1)−(0.5k+0.5)]=2k+1⋅(k+1.5)x_{k+1}=4x_k-4x_{k-1}=4\cdot2^k\cdot(0.5k+1)-4\cdot2^{k-1}\cdot(0.5(k-1)+1)=2^{k+1}\cdot[2(0.5k+1)-(0.5k+0.5)]=2^{k+1}\cdot(k+1.5), care confirmă divizibilitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.