MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. a) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției. b) Calculați integrala definită ∫02f(x)dx\int_0^2 f(x) dx. c) Determinați aria mărginită de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru partea a): Derivata f′(x)=2xe−x−x2e−x=xe−x(2−x)f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x). f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=0x=0 și x=2x=2. Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (0,2)(0,2) (funcție crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 nu există pe domeniu. Extreme: minim în x=0x=0, f(0)=0f(0)=0; maxim în x=2x=2, f(2)=4e−2f(2)=4e^{-2}.\n
24 puncte
Pentru partea b): Integrala ∫02x2e−xdx\int_0^2 x^2 e^{-x} dx. Se integrează prin părți: alegem u=x2u=x^2, dv=e−xdxdv=e^{-x}dx, deci du=2xdxdu=2x dx, v=−e−xv=-e^{-x}. Atunci ∫x2e−xdx=−x2e−x+2∫xe−xdx\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x} dx. Pentru ∫xe−xdx\int x e^{-x} dx, se integrează din nou prin părți: u=xu=x, dv=e−xdxdv=e^{-x}dx, deci du=dxdu=dx, v=−e−xv=-e^{-x}, obținând ∫xe−xdx=−xe−x+∫e−xdx=−xe−x−e−x+C\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C. Înlocuind: ∫x2e−xdx=−x2e−x−2xe−x−2e−x+C\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + C. Evaluând de la 0 la 2: [−4e−2−4e−2−2e−2]−[0−0−2]=−10e−2+2[-4e^{-2} - 4e^{-2} - 2e^{-2}] - [0 - 0 - 2] = -10e^{-2} + 2.\n
33 puncte
Pentru partea c): Aria este dată de ∫02∣f(x)∣dx\int_0^2 |f(x)| dx. Deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [0,2][0,2], aria este egală cu integrala calculată la punctul b), adică −10e−2+2-10e^{-2} + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.