MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateTrigonometrie
Fie FF o primitivă a funcției f(x)=e−xcos⁡xf(x) = e^{-x} \cos x. Dacă F(0)=1F(0) = 1, aflați expresia lui F(x)F(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identifică că trebuie calculată ∫e−xcos⁡x dx\int e^{-x} \cos x \, dx.
24 puncte
Aplică integrarea prin părți de două ori. Fie I=∫e−xcos⁡x dxI = \int e^{-x} \cos x \, dx. Prima integrare prin părți cu u=cos⁡xu = \cos x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx dă I=−e−xcos⁡x−∫e−xsin⁡x dxI = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx. A doua integrare prin părți pentru ∫e−xsin⁡x dx\int e^{-x} \sin x \, dx cu u=sin⁡xu = \sin x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx dă ∫e−xsin⁡x dx=−e−xsin⁡x−∫e−xcos⁡x dx=−e−xsin⁡x−I\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \sin x - I.
32 puncte
Înlocuiește în prima expresie: I=−e−xcos⁡x−(−e−xsin⁡x−I)=−e−xcos⁡x+e−xsin⁡x+II = -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x - I) = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x + I, deci 2I=e−x(sin⁡x−cos⁡x)2I = e^{-x}(\sin x - \cos x), iar I=e−x(sin⁡x−cos⁡x)2+CI = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + C.
42 puncte
Folosește condiția F(0)=1F(0)=1: F(0)=e0(sin⁡0−cos⁡0)2+C=0−12+C=−12+C=1F(0) = \frac{e^{0}(\sin 0 - \cos 0)}{2} + C = \frac{0 - 1}{2} + C = -\frac{1}{2} + C = 1, deci C=32C = \frac{3}{2}. Atunci F(x)=e−x(sin⁡x−cos⁡x)2+32F(x) = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.