MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Studiați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+2x2−1f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele (verticale și oblice), monotonia, punctele de extrem și schițați reprezentarea grafică aproximativă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x2−1≠0x^2 - 1 \neq 0, deci x≠±1x \neq \pm 1. Domeniul: R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.
23 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=(3x2−3)(x2−1)−(x3−3x+2)(2x)(x2−1)2f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 - 1) - (x^3 - 3x + 2)(2x)}{(x^2 - 1)^2}. Simplificare: f′(x)=x4−2x2+1(x2−1)2=(x2−1)2(x2−1)2=1f'(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} = \frac{(x^2 - 1)^2}{(x^2 - 1)^2} = 1 pentru x≠±1x \neq \pm 1. Derivata este constantă 1.
32 puncte
Asimptote verticale: la x=−1x = -1 și x=1x = 1, deoarece lim⁡x→−1f(x)=∞\lim_{x \to -1} f(x) = \infty și lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty. Asimptote oblice: m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1, n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=0n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = 0, deci asimptota oblică este y=xy = x.
42 puncte
Monotonia: f′(x)=1>0f'(x) = 1 > 0, deci funcția este strict crescătoare pe intervalele (−∞,−1)(-\infty, -1), (−1,1)(-1, 1), (1,∞)(1, \infty). Nu există puncte de extrem.
51 punct
Reprezentarea grafică: schiță care arată asimptotele verticale la x=±1x = \pm 1, asimptota oblică y=xy = x, și comportarea crescătoare pe fiecare interval.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.