MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrieMatematică aplicată
Un mobil se mișcă pe o dreaptă cu accelerația dată de a(t)=e−tsin⁡ta(t) = e^{-t} \sin t m/s². Știind că la momentul t=0t=0, viteza este v(0)=2v(0)=2 m/s și poziția este s(0)=1s(0)=1 m, să se determine funcția de poziție s(t)s(t) și să se calculeze distanța parcursă în intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Viteza este primitiva accelerației: v(t)=∫a(t)dt=∫e−tsin⁡tdtv(t) = \int a(t) dt = \int e^{-t} \sin t dt. Se integrează prin părți de două ori, obținând v(t)=−e−t(sin⁡t+cos⁡t)2+C1v(t) = -\frac{e^{-t} (\sin t + \cos t)}{2} + C_1. Din v(0)=2v(0)=2, rezultă C1=52C_1 = \frac{5}{2}, deci v(t)=−e−t(sin⁡t+cos⁡t)2+52v(t) = -\frac{e^{-t} (\sin t + \cos t)}{2} + \frac{5}{2}.\n
24 puncte
Poziția este primitiva vitezei: s(t)=∫v(t)dt=∫(−e−t(sin⁡t+cos⁡t)2+52)dts(t) = \int v(t) dt = \int \left(-\frac{e^{-t} (\sin t + \cos t)}{2} + \frac{5}{2}\right) dt. Se integrează termen cu termen; pentru partea cu e−t(sin⁡t+cos⁡t)e^{-t} (\sin t + \cos t), se folosește integrarea prin părți sau se observă că derivata lui e−tsin⁡te^{-t} \sin t este relevantă, obținând s(t)=e−tsin⁡t2+52t+C2s(t) = \frac{e^{-t} \sin t}{2} + \frac{5}{2}t + C_2. Din s(0)=1s(0)=1, rezultă C2=12C_2 = \frac{1}{2}, deci s(t)=e−tsin⁡t2+52t+12s(t) = \frac{e^{-t} \sin t}{2} + \frac{5}{2}t + \frac{1}{2}.\n
32 puncte
Distanța parcursă în [0,π][0, \pi] se calculează ca ∫0π∣v(t)∣dt\int_0^{\pi} |v(t)| dt. Deoarece v(t)v(t) nu își schimbă semnul în acest interval (se poate verifica), distanța este ∣s(π)−s(0)∣=∣e−πsin⁡π2+5π2+12−1∣=∣5π2−12∣=5π−12|s(\pi) - s(0)| = \left| \frac{e^{-\pi} \sin \pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \frac{1}{2} - 1 \right| = \left| \frac{5\pi}{2} - \frac{1}{2} \right| = \frac{5\pi - 1}{2} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.