MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceLogaritmi
Se consideră progresia aritmetică (bn)n≥1(b_n)_{n\ge1} cu b1=log⁡2ab_1=\log_2 a, b2=log⁡2bb_2=\log_2 b, b3=log⁡2cb_3=\log_2 c, unde aa, bb, cc sunt numere reale pozitive diferite de 1. Știind că bb, aa și cc sunt în această ordine termenii unei progresii geometrice și că suma S=b1+b2+b3=3S=b_1+b_2+b_3=3, determinați valorile lui aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din progresia aritmetică: b2=b1+b32⇒2log⁡2b=log⁡2a+log⁡2c⇒log⁡2b2=log⁡2(ac)⇒b2=acb_2=\frac{b_1+b_3}{2}\Rightarrow 2\log_2 b = \log_2 a + \log_2 c\Rightarrow \log_2 b^2 = \log_2(ac)\Rightarrow b^2=ac, deci aa, bb, cc sunt în progresie geometrică cu rația q=baq=\frac{b}{a}.
22 puncte
Din suma S=3S=3: log⁡2a+log⁡2b+log⁡2c=3⇒log⁡2(abc)=3⇒abc=23=8\log_2 a + \log_2 b + \log_2 c = 3\Rightarrow \log_2(abc)=3\Rightarrow abc=2^3=8.
33 puncte
Din b2=acb^2=ac, înlocuim în abc=8abc=8: b2⋅b=8⇒b3=8⇒b=2b^2\cdot b=8\Rightarrow b^3=8\Rightarrow b=2. Atunci ac=b2=4ac=b^2=4.
42 puncte
Progresia geometrică: aa, 22, cc, cu q=2aq=\frac{2}{a} și c=aq2=a(2a)2=4ac=aq^2=a\left(\frac{2}{a}\right)^2=\frac{4}{a}. Din ac=4ac=4, obținem a⋅4a=4a\cdot\frac{4}{a}=4, ecuație identică. Pentru a găsi aa, folosim aa, bb, cc distincte și pozitive diferite de 1: a>0a>0, a≠1a\ne1, c=4a>0⇒a>0c=\frac{4}{a}>0\Rightarrow a>0, și c≠1⇒a≠4c\ne1\Rightarrow a\ne4, iar b=2≠1b=2\ne1. Din a≠2a\ne2 (căci altfel a=b=2a=b=2, dar b=2b=2 este fixat și aa trebuie diferit) și a≠4a⇒a2≠4⇒a≠2a\ne\frac{4}{a}\Rightarrow a^2\ne4\Rightarrow a\ne2 și a≠−2a\ne-2 (negativ, exclus). Deci a>0a>0, a≠1a\ne1, a≠2a\ne2, a≠4a\ne4. Alegem de exemplu a=1/2a=1/2, atunci c=8c=8, verifică: 1/21/2, 22, 88 sunt în progresie geometrică cu q=4q=4.
51 punct
Verificare: b1=log⁡2(1/2)=−1b_1=\log_2(1/2)=-1, b2=log⁡22=1b_2=\log_2 2=1, b3=log⁡28=3b_3=\log_2 8=3, progresie aritmetică cu rația 2, suma -1+1+3=3. Deci o soluție este a=1/2a=1/2, b=2b=2, c=8c=8. Se pot găsi alte valori (e.g., a=8a=8, c=1/2c=1/2), dar cerința este să se determine valori posibile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.