MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x. a) Să se determine primitiva FF a lui ff care verifică F(1)=0F(1) = 0. b) Să se calculeze aria regiunii plane delimitate de graficul funcției FF, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Pentru partea a), se calculează o primitivă a lui f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x folosind integrarea prin părți: ∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1xdx=xln⁡x−x+C\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C. Deci F(x)=xln⁡x−x+CF(x) = x \ln x - x + C.
22 puncte
Din condiția F(1)=0F(1)=0, avem 1⋅ln⁡1−1+C=01 \cdot \ln 1 - 1 + C = 0. Cum ln⁡1=0\ln 1 = 0, rezultă −1+C=0-1 + C = 0, deci C=1C=1. Astfel, F(x)=xln⁡x−x+1F(x) = x \ln x - x + 1.
32 puncte
Pentru partea b), aria cerută este ∫1eF(x) dx\int_{1}^{e} F(x) \, dx, deoarece pe [1,e][1,e], F(x)F(x) este continuă și F′(x)=ln⁡x≥0F'(x)=\ln x \geq 0 (crescătoare), cu F(1)=0F(1)=0 și F(e)=1>0F(e)=1 > 0, deci F(x)≥0F(x) \geq 0.
42 puncte
Calculăm ∫1e(xln⁡x−x+1)dx=∫1exln⁡x dx−∫1ex dx+∫1e1 dx\int_{1}^{e} (x \ln x - x + 1) dx = \int_{1}^{e} x \ln x \, dx - \int_{1}^{e} x \, dx + \int_{1}^{e} 1 \, dx. Pentru ∫xln⁡x dx\int x \ln x \, dx, folosim integrarea prin părți: u=ln⁡xu=\ln x, dv=xdxdv=x dx, deci du=1xdxdu=\frac{1}{x}dx, v=x22v=\frac{x^2}{2}; atunci ∫xln⁡x dx=x22ln⁡x−12∫x dx=x22ln⁡x−x24+C\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. Efectuând calculele: ∫1exln⁡x dx=[x22ln⁡x−x24]1e=(e22−e24)−(0−14)=e24+14\int_{1}^{e} x \ln x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e} = \left( \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}; ∫1ex dx=[x22]1e=e22−12\int_{1}^{e} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{e} = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}; ∫1e1 dx=[x]1e=e−1\int_{1}^{e} 1 \, dx = [x]_{1}^{e} = e-1. Sumând, aria =(e24+14)−(e22−12)+(e−1)=−e24+e−14= \left( \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) + (e-1) = -\frac{e^2}{4} + e - \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.