MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. Să se determine o primitivă FF a lui ff și să se calculeze ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x) \, dx utilizând primitiva găsită.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Pentru a găsi o primitivă, se aplică integrarea prin părți de două ori. Notăm u=x2u = x^2 și dv=e−xdxdv = e^{-x}dx, deci du=2xdxdu = 2x dx și v=−e−xv = -e^{-x}. Atunci ∫x2e−xdx=−x2e−x+∫2xe−xdx\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x} dx. Pentru ∫2xe−xdx\int 2x e^{-x} dx, se notează u=2xu = 2x, dv=e−xdxdv = e^{-x}dx, de unde du=2dxdu = 2 dx, v=−e−xv = -e^{-x}, și se obține ∫2xe−xdx=−2xe−x+∫2e−xdx=−2xe−x−2e−x+C1\int 2x e^{-x} dx = -2x e^{-x} + \int 2 e^{-x} dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C_1. În final, ∫x2e−xdx=−x2e−x−2xe−x−2e−x+C\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + C.\n
23 puncte
O primitivă a funcției ff este F(x)=−e−x(x2+2x+2)+CF(x) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C, cu C∈RC \in \mathbb{R}.\n
32 puncte
Calculul integralei definite: ∫01f(x)dx=F(1)−F(0)\int_0^1 f(x) dx = F(1) - F(0). Se evaluează F(1)=−e−1(12+2⋅1+2)=−5e−1F(1) = -e^{-1}(1^2 + 2 \cdot 1 + 2) = -5e^{-1} și F(0)=−e0(02+2⋅0+2)=−2F(0) = -e^{0}(0^2 + 2 \cdot 0 + 2) = -2. Astfel, ∫01f(x)dx=(−5e−1)−(−2)=−5e−1+2\int_0^1 f(x) dx = (-5e^{-1}) - (-2) = -5e^{-1} + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.