MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeProgresii Geometrice
Fie a,b,ca, b, c trei numere reale care formează o progresie aritmetică. Dacă a2,b2,c2a^2, b^2, c^2 formează o progresie geometrică, determinați valorile posibile pentru a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din faptul că a,b,ca, b, c sunt în progresie aritmetică, avem 2b=a+c2b = a + c.
23 puncte
Din faptul că a2,b2,c2a^2, b^2, c^2 sunt în progresie geometrică, avem (b2)2=a2⋅c2(b^2)^2 = a^2 \cdot c^2, adică b4=a2c2b^4 = a^2 c^2.
34 puncte
Rezolvăm sistemul: 2b=a+c2b = a + c și b4=a2c2b^4 = a^2 c^2. Din prima ecuație, c=2b−ac = 2b - a. Înlocuim în a doua: b4=a2(2b−a)2=a2(4b2−4ab+a2)b^4 = a^2 (2b - a)^2 = a^2 (4b^2 - 4ab + a^2). Simplificăm sau considerăm cazuri. Obținem că această ecuație este satisfăcută dacă a=b=ca = b = c (orice numere reale) sau dacă a=−ca = -c și b=0b = 0. În cazul a=−ca = -c și b=0b = 0, din progresia geometrică, 02=a2⋅c20^2 = a^2 \cdot c^2, deci ac=0a c = 0, care cu a=−ca = -c dă a=c=0a = c = 0. Astfel, a=b=c=0a = b = c = 0 este inclus în primul caz.
41 punct
Prin urmare, singurele valori posibile sunt a=b=ca = b = c pentru orice număr real.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.