MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf:(0,\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x22+2x−3f(x)=x\ln x-\frac{x^2}{2}+2x-3. a) Determinați domeniul de definiție, calculați derivata și studiați monotonia funcției. b) Determinați punctele de extrem local și intervalul pe care funcția este convexă. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact două soluții în domeniul de definiție. d) Calculați ∫1ef(x) dx\int_{1}^{e} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: (0,∞)(0,\infty) deoarece conține ln⁡x\ln x. Derivata: f′(x)=ln⁡x+1−x+2=ln⁡x−x+3f'(x)=\ln x + 1 - x + 2 = \ln x - x + 3.\n
22 puncte
Studiem semnul lui f′(x)f'(x). Derivata a doua: f′′(x)=1x−1f''(x)=\frac{1}{x}-1. Punct critic: f′(x)=0⇒ln⁡x=x−3f'(x)=0 \Rightarrow \ln x = x-3. Analizăm grafic sau numeric: există două soluții x1∈(0,1)x_1\in(0,1) și x2>1x_2>1. Folosind f′′(x)f''(x): f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x∈(0,1)x\in(0,1) (convexă), f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x>1x>1 (concavă). Monotonia: crescătoare pe (0,x1)(0,x_1) și (x2,∞)(x_2,\infty), descrescătoare pe (x1,x2)(x_1,x_2).\n
33 puncte
Puncte extrem: x1x_1 maxim local, x2x_2 minim local. Convexitatea: f′′(x)>0⇒x∈(0,1)f''(x)>0 \Rightarrow x\in(0,1), deci convexă pe (0,1)(0,1). Pentru ecuația f(x)=0f(x)=0: f(1)=−12<0f(1)=-\frac{1}{2}<0, f(e)=e−e22+2e−3>0f(e)=e-\frac{e^2}{2}+2e-3>0 pentru e≈2.71e\approx2.71, iar lim⁡x→0+f(x)=−3\lim_{x\to0^+} f(x)=-3. Folosind semnele și monotonia, există exact o soluție în (0,x1)(0,x_1) și una în (x2,∞)(x_2,\infty).\n
43 puncte
Integrala: ∫1e(xln⁡x−x22+2x−3) dx=[x22ln⁡x−x24−x36+x2−3x]1e\int_{1}^{e} (x\ln x-\frac{x^2}{2}+2x-3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x -\frac{x^2}{4} -\frac{x^3}{6}+x^2-3x\right]_{1}^{e}. Calcul: e22⋅1−e24−e36+e2−3e−(0−14−16+1−3)=e24−e36+e2−3e+1912\frac{e^2}{2}\cdot1 -\frac{e^2}{4} -\frac{e^3}{6}+e^2-3e - \left(0-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+1-3\right) = \frac{e^2}{4} -\frac{e^3}{6}+e^2-3e +\frac{19}{12}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.