MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăEcuații iraționale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Arătați prin inducție matematică că xn<2x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. b) Demonstrați că șirul este crescător. c) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Prin inducție matematică, se arată că xn<2x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. Pentru n=1n=1, x1=1<2x_1=1<2. Se presupune xk<2x_k < 2, atunci xk+1=2+xk<2+2=2x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2+2} = 2, deci propoziția este adevărată pentru orice nn.
23 puncte
Se demonstrează că șirul este crescător. Se calculează xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Se arată că 2+xn>xn\sqrt{2 + x_n} > x_n pentru xn∈[1,2)x_n \in [1,2): din xn<2x_n < 2, avem 2+xn>xn22 + x_n > x_n^2 dacă și numai dacă xn2−xn−2<0x_n^2 - x_n - 2 < 0, adevărat pentru xn∈(−1,2)x_n \in (-1,2). Cum xn≥1x_n \geq 1, diferența este pozitivă, deci șirul crescător.
34 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Se rezolvă ecuația L2=2+LL^2 = 2 + L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L=2 și L=−1L=-1. Cum xn≥1x_n \geq 1, limita este L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.