MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}. Calculați primitivele lui ff. Apoi, determinați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=f(x)−12xg(x) = f(x) - \frac{1}{2}x, axa OxOx și dreptele x=0x = 0 și x=2x = 2. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff, precum și asimptotele ei orizontale. În final, determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției h(x)=f(x)h(x) = \sqrt{f(x)} pe intervalul [0,2][0, 2].

Rezolvare completă

7 puncte · 6 pași
22 puncte
Aria: g(x)=xe−x−12xg(x) = x e^{-x} - \frac{1}{2}x. Se rezolvă g(x)=0⇒xe−x=12x⇒x(e−x−12)=0g(x) = 0 \Rightarrow x e^{-x} = \frac{1}{2}x \Rightarrow x( e^{-x} - \frac{1}{2}) = 0, deci x=0x=0 sau e−x=12⇒x=ln⁡2e^{-x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \ln 2. Pe [0,ln⁡2][0, \ln 2], g(x)≥0g(x) \geq 0; pe [ln⁡2,2][\ln 2, 2], g(x)≤0g(x) \leq 0. Aria =∫0ln⁡2g(x)dx−∫ln⁡22g(x)dx=[−e−x(x+1)−14x2]0ln⁡2−([−e−x(x+1)−14x2]ln⁡22)= \int_0^{\ln 2} g(x) dx - \int_{\ln 2}^2 g(x) dx = \left[ -e^{-x}(x+1) - \frac{1}{4}x^2 \right]_0^{\ln 2} - \left( \left[ -e^{-x}(x+1) - \frac{1}{4}x^2 \right]_{\ln 2}^2 \right). Se calculează numeric sau se lasă în formă simplificată.
32 puncte
Studiul lui ff: f′(x)=e−x−xe−x=e−x(1−x)f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1-x). f′≥0f' \geq 0 pe [0,1][0,1], f′≤0f' \leq 0 pe [1,∞)[1, \infty); deci crescătoare pe [0,1][0,1], descrescătoare pe [1,∞)[1, \infty); maxim în x=1x=1, f(1)=e−1f(1)=e^{-1}. f′′(x)=−e−x(1−x)−e−x=e−x(x−2)f''(x) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = e^{-x}(x-2); f′′≥0f'' \geq 0 pe [2,∞)[2, \infty), f′′≤0f'' \leq 0 pe [0,2][0,2]; convexă pe [2,∞)[2, \infty), concavă pe [0,2][0,2]; punct de inflexiune în x=2x=2. Asimptotă orizontală: lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, deci y=0y=0.
42 puncte
Volumul: h(x)=xe−x=xe−x/2h(x) = \sqrt{x e^{-x}} = \sqrt{x} e^{-x/2}. Volumul V=π∫02[h(x)]2dx=π∫02xe−xdx=π[−e−x(x+1)]02=π(−3e−2+1)V = \pi \int_0^2 [h(x)]^2 dx = \pi \int_0^2 x e^{-x} dx = \pi \left[ -e^{-x}(x+1) \right]_0^2 = \pi \left( -3e^{-2} + 1 \right). step 5, 1.5 puncte: Verificări și concluzii: se asigură consistența calculelor și se prezintă rezultatele finale.
61 punct
Discuție asupra rezultatelor obținute, cu mențiunea unităților de măsură pentru arie și volum.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.