MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteEcuații logaritmice
Se consideră funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡∣x∣xf(x) = \frac{\ln |x|}{x}. a) Determinați asimptotele graficului funcției ff. b) Studiați monotonia funcției ff pe intervalele (0,∞)(0, \infty) și (−∞,0)(-\infty, 0). c) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația f(x)=e−1f(x) = e^{-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Asimptota verticală: lim⁡x→0f(x)=±∞\lim_{x \to 0} f(x) = \pm \infty, deci x=0x=0 este asimptotă verticală.
22 puncte
Asimptota orizontală: lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală spre ±∞\pm \infty.
33 puncte
Derivata pentru x>0x>0: f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}; semn: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(0,e)x \in (0,e), f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=ex=e, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(e,∞)x \in (e, \infty); deci ff este crescătoare pe (0,e](0,e] și descrescătoare pe [e,∞)[e, \infty). Pentru x<0x<0: f′(x)=1−ln⁡(−x)x2f'(x) = \frac{1 - \ln(-x)}{x^2}; semn: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−e,0)x \in (-e,0), f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=−ex=-e, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−∞,−e)x \in (-\infty, -e); deci ff este descrescătoare pe (−∞,−e](-\infty, -e] și crescătoare pe [−e,0)[-e, 0).
43 puncte
Ecuația f(x)=e−1f(x) = e^{-1}: pentru x>0x>0, ln⁡xx=1e\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{e}; se verifică că x=ex=e este soluție; deoarece ff este strict crescătoare pe (0,e](0,e] și strict descrescătoare pe [e,∞)[e, \infty), iar f(e)=1ef(e)=\frac{1}{e}, aceasta este singura soluție pentru x>0x>0. Pentru x<0x<0, f(x)<0f(x) < 0 în timp ce e−1>0e^{-1} > 0, deci nu există soluții. Soluția ecuației este x=ex=e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.