MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. Studiați monotonie, convexitatea și calculați ∫1ef(x) dx\int_{1}^{e} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1. Studiul semnului: f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=e−1x = e^{-1}; f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>e−1x > e^{-1} și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 0<x<e−10 < x < e^{-1}. Deci, ff este descrescătoare pe (0,e−1](0, e^{-1}] și crescătoare pe [e−1,∞)[e^{-1}, \infty), cu minim în x=e−1x = e^{-1}.
23 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Deoarece f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0, funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
34 puncte
Calculul integralei: ∫1exln⁡x dx\int_{1}^{e} x \ln x \, dx. Folosind integrarea prin părți cu u=ln⁡xu = \ln x, dv=xdxdv = x dx, avem du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x22v = \frac{x^2}{2}. Atunci ∫xln⁡x dx=x22ln⁡x−∫x2dx=x22ln⁡x−x24+C\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. Evaluând de la 1 la e: [x22ln⁡x−x24]1e=(e22⋅1−e24)−(0−14)=e24+14=e2+14\left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e} = \left( \frac{e^2}{2} \cdot 1 - \frac{e^2}{4} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.