MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Studiați funcția ff: determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie, punctele de extrem și convexitatea/concavitatea. b) Calculați aria regiunii delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru partea a): determinarea domeniului: x>0x > 0, deci (0,∞)(0, \infty). Asimptote: asimptotă verticală în x=0x=0? lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 (se poate calcula folosind regula lui l'Hôpital sau cunoscută limită), deci nu există asimptotă verticală. Asimptotă orizontală: nu există, deoarece lim⁡x→∞xln⁡x=∞\lim_{x \to \infty} x \ln x = \infty. Asimptotă oblică: nu există. Calculul derivatei întâi: f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1. Studiul semnului: f′(x)=0⇒ln⁡x=−1⇒x=e−1f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1}. Pentru x∈(0,e−1)x \in (0, e^{-1}), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare; pentru x∈(e−1,∞)x \in (e^{-1}, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare. Punct de minim în x=e−1x = e^{-1}, f(e−1)=−e−1f(e^{-1}) = -e^{-1}.
22 puncte
Pentru partea a): calculul derivatei a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Studiul semnului: pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty). Nu are puncte de inflexiune.
35 puncte
Pentru partea b): calculul ariei: A=∫1exln⁡x dxA = \int_{1}^{e} x \ln x \, dx. Se folosește integrarea prin părți: fie u=ln⁡xu = \ln x, dv=xdxdv = x dx, atunci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x22v = \frac{x^2}{2}. Deci, ∫xln⁡x dx=x22ln⁡x−∫x22⋅1xdx=x22ln⁡x−12∫xdx=x22ln⁡x−x24+C\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. Apoi, A=[x22ln⁡x−x24]1e=(e22⋅1−e24)−(12⋅0−14)=e22−e24+14=e24+14=e2+14A = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e} = \left( \frac{e^2}{2} \cdot 1 - \frac{e^2}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.