MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeGeometrie Analitică
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2}. Să se calculeze aria suprafeței plane mărginită de graficul funcției ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=2x=2, folosind primitive.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinăm o primitivă a funcției f(x)f(x). Folosim substituția trigonometrică x=2sin⁡tx = 2\sin t, deci dx=2cos⁡tdtdx = 2\cos t dt. Atunci ∫4−x2dx=∫2cos⁡t⋅2cos⁡tdt=4∫cos⁡2tdt=4∫1+cos⁡2t2dt=2t+sin⁡2t+C=2arcsin⁡(x2)+x4−x22+C\int \sqrt{4 - x^2} dx = \int 2\cos t \cdot 2\cos t dt = 4\int \cos^2 t dt = 4\int \frac{1+\cos 2t}{2} dt = 2t + \sin 2t + C = 2\arcsin(\frac{x}{2}) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C.
23 puncte
Aria este dată de integrala definită ∫02f(x)dx=F(2)−F(0)\int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0), unde FF este o primitivă. Calculăm F(2)=2arcsin⁡(1)+0=πF(2) = 2\arcsin(1) + 0 = \pi și F(0)=2arcsin⁡(0)+0=0F(0) = 2\arcsin(0) + 0 = 0, deci aria este π\pi.
33 puncte
Interpretăm rezultatul: aria π\pi corespunde ariei unui sfert de cerc cu raza 2, verificând consistența geometrică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.