MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=an2+2an+3a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 2a_n + 3} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este strict crescător și mărginit, apoi calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătați că an+1>ana_{n+1} > a_n pentru orice n≥1n \geq 1 prin inducție matematică, observând că an+12−an2=2an+3>0a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2a_n + 3 > 0 deoarece an≥1a_n \geq 1.\n
23 puncte
Demonstrați că șirul este mărginit superior, de exemplu prin inducție: presupunând an≤3a_n \leq 3 (verificat pentru n=1n=1), arătați că an+1=an2+2an+3≤32+2⋅3+3=18<5a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 2a_n + 3} \leq \sqrt{3^2 + 2\cdot3 + 3} = \sqrt{18} < 5, deci este mărginit.\n
34 puncte
Presupunând convergența, notați L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din relația de recurență, L=L2+2L+3L = \sqrt{L^2 + 2L + 3}, de unde L2=L2+2L+3L^2 = L^2 + 2L + 3, adică 2L+3=02L + 3 = 0, deci L=−32L = -\frac{3}{2}. Dar șirul este pozitiv, deci limita este L=∞L = \infty sau se reconsideră: rezolvând L=L2+2L+3L = \sqrt{L^2 + 2L + 3}, se obține L2=L2+2L+3⇒2L=−3⇒L=−32L^2 = L^2 + 2L + 3 \Rightarrow 2L = -3 \Rightarrow L = -\frac{3}{2}, imposibil deoarece an>0a_n > 0. Corect: trebuie verificată existența limitei finite; de fapt, șirul este nemărginit superior, așadar limita este +∞+\infty. Pentru punctaj complet, explicați că șirul crescător și nemărginit are limita +∞+\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.