MediuFuncția de gradul IClasa 9

Problemă rezolvată de Funcția de gradul I

MediuFuncția de gradul IMatematică aplicatăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O companie produce un produs cu un cost fix de 500 de lei și un cost variabil de 20 de lei per unitate. Funcția costului total este C(x)=20x+500C(x) = 20x + 500, unde xx este numărul de unități produse. Dacă prețul de vânzare per unitate este p(x)=60−0.5xp(x) = 60 - 0.5x (în lei), determinați intervalul de valori pentru xx astfel încât compania să obțină profit, și calculați profitul maxim posibil.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Funcția venitului este R(x)=p(x)⋅x=(60−0.5x)x=60x−0.5x2R(x) = p(x) \cdot x = (60 - 0.5x)x = 60x - 0.5x^2. \
22 puncte
Funcția profitului este P(x)=R(x)−C(x)=(60x−0.5x2)−(20x+500)=40x−0.5x2−500P(x) = R(x) - C(x) = (60x - 0.5x^2) - (20x + 500) = 40x - 0.5x^2 - 500. \
32 puncte
Condiția de profit este P(x)>0P(x) > 0, adică 40x−0.5x2−500>040x - 0.5x^2 - 500 > 0. Înmulțind cu 2: 80x−x2−1000>0⇒x2−80x+1000<080x - x^2 - 1000 > 0 \Rightarrow x^2 - 80x + 1000 < 0. \
42 puncte
Rezolvăm ecuația x2−80x+1000=0x^2 - 80x + 1000 = 0. Discriminantul: Δ=6400−4000=2400\Delta = 6400 - 4000 = 2400, deci x=80±24002=80±2062=40±106x = \frac{80 \pm \sqrt{2400}}{2} = \frac{80 \pm 20\sqrt{6}}{2} = 40 \pm 10\sqrt{6}. Inegalitatea este satisfăcută pentru x∈(40−106,40+106)x \in (40 - 10\sqrt{6}, 40 + 10\sqrt{6}). \
52 puncte
Pentru a găsi profitul maxim, observăm că P(x)=−0.5x2+40x−500P(x) = -0.5x^2 + 40x - 500 este o funcție de gradul al doilea cu coeficientul lui x2x^2 negativ, deci are maxim în vârf. Abscisa vârfului este x=−b2a=−402⋅(−0.5)=401=40x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \cdot (-0.5)} = \frac{40}{1} = 40. Atunci P(40)=−0.5⋅402+40⋅40−500=−800+1600−500=300P(40) = -0.5 \cdot 40^2 + 40 \cdot 40 - 500 = -800 + 1600 - 500 = 300. Profitul maxim este 300 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul I

Ușor#1Funcția de gradul IMatematică aplicată
O companie de telecomunicații are două tipuri de abonamente: Abonamentul A are o taxă fixă lunară de 50 lei și o taxă de 0.1 lei pe minut de convorbire. Abonamentul B are o taxă fixă lunară de 70 lei și o taxă de 0.08 lei pe minut. Determinați pentru câte minute de convorbire lunare cele două abonamente au același cost. Apoi, studiați care abonament este mai avantajos în funcție de numărul de minute utilizate xx.
Ușor#2Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Pentru un anumit produs, funcția cererii este Qd=100−2PQ_d = 100 - 2P și funcția ofertei este Qs=20+3PQ_s = 20 + 3P, unde PP este prețul în lei și QQ este cantitatea. Să se determine prețul și cantitatea de echilibru. Apoi, dacă guvernul introduce o taxă de 5 lei per unitate, care va fi noul preț de echilibru plătit de consumatori și cantitatea de echilibru?
Mediu#3Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcțiile f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x+nf(x) = (m-1)x + n și g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=(2−m)x+pg(x) = (2-m)x + p, unde m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Determinați m,n,pm, n, p astfel încât graficul lui ff să fie paralel cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1, graficul lui gg să treacă prin punctul A(−1,4)A(-1,4), iar punctul de intersecție al graficelor lui ff și gg să aibă abscisa egală cu ordonata.
Ușor#4Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Știind că f(1)+f(2)+f(3)=12f(1) + f(2) + f(3) = 12 și f(1)⋅f(2)⋅f(3)=60f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) = 60, determinați aa și bb.
Vezi toate problemele de Funcția de gradul I →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul I cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.