Probleme de Funcția de gradul I — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAnaliza Matematica • 399 probleme cu rezolvări complete
Teorie Funcția de gradul I — Formule si exemple rezolvate

Funcția de gradul I (funcția liniară) este definită de f(x) = ax + b. Se studiază graficul, monotonia, punctele de intersecție cu axele și aplicații practice.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

82

probleme

Mediu

20

probleme

Grile de Funcția de gradul I

297 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Funcția de gradul IMatematică aplicată
O companie de telecomunicații are două tipuri de abonamente: Abonamentul A are o taxă fixă lunară de 50 lei și o taxă de 0.1 lei pe minut de convorbire. Abonamentul B are o taxă fixă lunară de 70 lei și o taxă de 0.08 lei pe minut. Determinați pentru câte minute de convorbire lunare cele două abonamente au același cost. Apoi, studiați care abonament este mai avantajos în funcție de numărul de minute utilizate xx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcțiile cost: CA(x)=50+0.1xC_A(x) = 50 + 0.1x și CB(x)=70+0.08xC_B(x) = 70 + 0.08x, unde xx este numărul de minute.
22 puncte
Pentru a găsi punctul de echilibru, egalați funcțiile: CA(x)=CB(x)C_A(x) = C_B(x), adică 50+0.1x=70+0.08x50 + 0.1x = 70 + 0.08x.
33 puncte
Rezolvați ecuația: 0.1x−0.08x=70−50⇒0.02x=20⇒x=200.02=10000.1x - 0.08x = 70 - 50 \Rightarrow 0.02x = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{0.02} = 1000. Deci, pentru x=1000x = 1000 minute, costurile sunt egale.
43 puncte
Analizați avantajul: considerați diferența D(x)=CA(x)−CB(x)=(50+0.1x)−(70+0.08x)=−20+0.02xD(x) = C_A(x) - C_B(x) = (50 + 0.1x) - (70 + 0.08x) = -20 + 0.02x. Pentru x<1000x < 1000, D(x)<0D(x) < 0, deci CA(x)<CB(x)C_A(x) < C_B(x) și abonamentul A este mai avantajos. Pentru x>1000x > 1000, D(x)>0D(x) > 0, deci CB(x)<CA(x)C_B(x) < C_A(x) și abonamentul B este mai avantajos.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Pentru un anumit produs, funcția cererii este Qd=100−2PQ_d = 100 - 2P și funcția ofertei este Qs=20+3PQ_s = 20 + 3P, unde PP este prețul în lei și QQ este cantitatea. Să se determine prețul și cantitatea de echilibru. Apoi, dacă guvernul introduce o taxă de 5 lei per unitate, care va fi noul preț de echilibru plătit de consumatori și cantitatea de echilibru?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Echilibrul inițial: Qd=QsQ_d = Q_s, deci 100−2P=20+3P100 - 2P = 20 + 3P. Rezolvare: 100−20=3P+2P100 - 20 = 3P + 2P, 80=5P80 = 5P, P=16P=16 lei, Q=100−2⋅16=68Q=100-2\cdot16=68 unități.
23 puncte
Cu taxa de 5 lei, funcția ofertei devine Qs′=20+3(P−5)=5+3PQ_s' = 20 + 3(P-5) = 5 + 3P (presupunând că taxa este plătită de producător). Echilibrul: 100−2P=5+3P100 - 2P = 5 + 3P.
32 puncte
Rezolvare: 100−5=3P+2P100 - 5 = 3P + 2P, 95=5P95 = 5P, P=19P=19 lei (preț plătit de consumatori). Cantitatea: Q=100−2⋅19=62Q=100-2\cdot19=62 unități.
42 puncte
Interpretare: Prețul crește de la 16 la 19 lei, cantitatea scade de la 68 la 62 unități.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcțiile f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x+nf(x) = (m-1)x + n și g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=(2−m)x+pg(x) = (2-m)x + p, unde m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Determinați m,n,pm, n, p astfel încât graficul lui ff să fie paralel cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1, graficul lui gg să treacă prin punctul A(−1,4)A(-1,4), iar punctul de intersecție al graficelor lui ff și gg să aibă abscisa egală cu ordonata.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiția de paralelism: panta lui ff este m−1m-1, iar panta dreptei y=3x−1y=3x-1 este 3, deci m−1=3⇒m=4m-1 = 3 \Rightarrow m=4.
22 puncte
Graficul lui gg trece prin A(−1,4)A(-1,4): g(−1)=4⇒(2−4)(−1)+p=4⇒(−2)(−1)+p=4⇒2+p=4⇒p=2g(-1)=4 \Rightarrow (2-4)(-1) + p = 4 \Rightarrow (-2)(-1) + p = 4 \Rightarrow 2 + p = 4 \Rightarrow p=2.
33 puncte
Punctul de intersecție: rezolvăm f(x)=g(x)f(x)=g(x). Cu m=4m=4, f(x)=3x+nf(x)=3x+n și g(x)=−2x+2g(x)=-2x+2. Atunci 3x+n=−2x+2⇒5x=2−n⇒x=2−n53x+n = -2x+2 \Rightarrow 5x = 2-n \Rightarrow x = \frac{2-n}{5}. Ordonata este y=3⋅2−n5+n=6+2n5y=3 \cdot \frac{2-n}{5} + n = \frac{6+2n}{5}. Condiția: 2−n5=6+2n5⇒2−n=6+2n⇒−4=3n⇒n=−43\frac{2-n}{5} = \frac{6+2n}{5} \Rightarrow 2-n = 6+2n \Rightarrow -4=3n \Rightarrow n=-\frac{4}{3}.
42 puncte
Verificare: cu m=4m=4, n=−43n=-\frac{4}{3}, p=2p=2, funcțiile sunt f(x)=3x−43f(x)=3x - \frac{4}{3} și g(x)=−2x+2g(x)=-2x+2. Punctul de intersecție are coordonatele (23,23)\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right), deci abscisa egală cu ordonata.
51 punct
Concluzie: m=4m=4, n=−43n=-\frac{4}{3}, p=2p=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Știind că f(1)+f(2)+f(3)=12f(1) + f(2) + f(3) = 12 și f(1)⋅f(2)⋅f(3)=60f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) = 60, determinați aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem f(1)=a+bf(1)=a+b, f(2)=2a+bf(2)=2a+b, f(3)=3a+bf(3)=3a+b.
22 puncte
Din prima condiție: (a+b)+(2a+b)+(3a+b)=12⇒6a+3b=12⇒2a+b=4(a+b) + (2a+b) + (3a+b) = 12 \Rightarrow 6a + 3b = 12 \Rightarrow 2a + b = 4.
33 puncte
Din a doua condiție: (a+b)(2a+b)(3a+b)=60(a+b)(2a+b)(3a+b) = 60. Folosind 2a+b=42a+b=4, avem b=4−2ab=4-2a. Atunci a+b=4−aa+b = 4-a, 2a+b=42a+b=4, 3a+b=a+43a+b = a+4. Produsul: (4−a)⋅4⋅(a+4)=60⇒4(4−a)(a+4)=60⇒(4−a)(a+4)=15⇒16−a2=15⇒a2=1⇒a=±1(4-a) \cdot 4 \cdot (a+4) = 60 \Rightarrow 4(4-a)(a+4) = 60 \Rightarrow (4-a)(a+4) = 15 \Rightarrow 16 - a^2 = 15 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1.
42 puncte
Pentru a=1a=1, b=4−2⋅1=2b=4-2 \cdot 1 = 2. Pentru a=−1a=-1, b=4−2⋅(−1)=6b=4-2 \cdot (-1) = 6.
51 punct
Verificare: Pentru (a,b)=(1,2)(a,b)=(1,2): f(1)=3,f(2)=4,f(3)=5f(1)=3, f(2)=4, f(3)=5, suma 12, produs 60. Pentru (a,b)=(−1,6)(a,b)=(-1,6): f(1)=5,f(2)=4,f(3)=3f(1)=5, f(2)=4, f(3)=3, suma 12, produs 60. Deci soluțiile sunt (1,2)(1,2) și (−1,6)(-1,6).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx+nf(x) = mx + n, cu m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. Știind că graficul funcției trece prin punctele A(1,2)A(1,2) și B(3,8)B(3,8), determinați valorile lui mm și nn. Apoi, calculați distanța de la originea O(0,0)O(0,0) la dreapta reprezentată de graficul funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Găsirea lui mm și nn: Folosim condițiile f(1)=2f(1)=2 și f(3)=8f(3)=8. Avem sistemul: {m⋅1+n=2m⋅3+n=8\begin{cases} m \cdot 1 + n = 2 \\ m \cdot 3 + n = 8 \end{cases}. Rezolvând, scădem prima ecuație din a doua: (3m+n)−(m+n)=8−2(3m + n) - (m + n) = 8 - 2, deci 2m=62m = 6 și m=3m=3. Înlocuind în prima ecuație: 3+n=23 + n = 2, deci n=−1n=-1.
23 puncte
Ecuația dreptei: Cu m=3m=3 și n=−1n=-1, funcția este f(x)=3x−1f(x)=3x-1, deci dreapta are ecuația y=3x−1y=3x-1 sau în formă generală: 3x−y−1=03x - y - 1 = 0.
33 puncte
Calculul distanței: Distanța de la punctul O(0,0)O(0,0) la dreapta 3x−y−1=03x - y - 1 = 0 se calculează cu formula d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Aici A=3A=3, B=−1B=-1, C=−1C=-1, x0=0x_0=0, y0=0y_0=0, deci d=∣3⋅0+(−1)⋅0−1∣32+(−1)2=110=1010d = \frac{|3 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Funcția de gradul IMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie de taxi aplică o taxă fixă de 5 lei la începutul cursei și apoi 2 lei pe kilometru. Scrieți funcția C(x)C(x) care reprezintă costul unei curse în funcție de distanța parcursă xx (în km). Dacă un client plătește 25 lei pentru o cursă, determinați distanța parcursă. Apoi, analizați dacă funcția CC este injectivă și justificați răspunsul.
Ușor#7Funcția de gradul IGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Se știe că graficul funcției trece prin punctele A(1,2)A(1,2) și B(3,8)B(3,8). Determinați valorile lui aa și bb și apoi găsiți coordonatele punctului de intersecție al graficului cu axa OyOy.
Ușor#8Funcția de gradul IMatematică financiară
O firmă produce un anumit produs cu costul de producție dat de funcția C(x)=50x+1000C(x) = 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse, iar venitul din vânzări este V(x)=80xV(x) = 80x. Determinați numărul minim de unități care trebuie produse și vândute pentru ca firma să obțină profit și calculați profitul pentru 200 de unități.
Ușor#9Funcția de gradul IAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx+nf(x) = mx + n. Dacă f(f(x))=4x+3f(f(x)) = 4x + 3 și f(0)=1f(0) = 1, determinați mm și nn.
Mediu#10Funcția de gradul IGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Știind că graficul funcției trece prin punctul P(2,3)P(2,3) și că aria triunghiului determinat de graficul funcției, axa OxOx și axa OyOy este egală cu 4, determinați aa și bb.

Și alte 92 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul I cu AI

Accesează toate cele 399 probleme de Funcția de gradul I cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme
→Logică matematică
398 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.