MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2−1)e−xf(x) = (x^2 - 1)e^{-x}. a) Determinați domeniul de definiție al funcției. b) Calculați derivatele de ordinul I și II. c) Studiați monotonia și convexitatea funcției. d) Determinați asimptotele funcției. e) Trasați schița graficului funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Domeniul de definiție este Df=RD_f = \mathbb{R} deoarece e−xe^{-x} este definită pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și x2−1x^2 - 1 este polinom.
22 puncte
Derivata de ordinul I: f′(x)=ddx[(x2−1)e−x]=2xe−x+(x2−1)(−e−x)=e−x(2x−x2+1)=e−x(−x2+2x+1)f'(x) = \frac{d}{dx}[(x^2 - 1)e^{-x}] = 2x e^{-x} + (x^2 - 1)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2 + 1) = e^{-x}(-x^2 + 2x + 1).
32 puncte
Derivata de ordinul II: f′′(x)=ddx[e−x(−x2+2x+1)]=−e−x(−x2+2x+1)+e−x(−2x+2)=e−x(x2−2x−1−2x+2)=e−x(x2−4x+1)f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x}(-x^2 + 2x + 1)] = -e^{-x}(-x^2 + 2x + 1) + e^{-x}(-2x + 2) = e^{-x}(x^2 - 2x - 1 - 2x + 2) = e^{-x}(x^2 - 4x + 1).
42 puncte
Studiul monotoniei: se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0. Deoarece e−x>0e^{-x} > 0, ecuația devine −x2+2x+1=0-x^2 + 2x + 1 = 0, adică x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0, cu soluțiile x1=1−2x_1 = 1 - \sqrt{2} și x2=1+2x_2 = 1 + \sqrt{2}. Se studiază semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele (−∞,1−2)(-\infty, 1-\sqrt{2}), (1−2,1+2)(1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}), (1+2,∞)(1+\sqrt{2}, \infty). f′(x)>0f'(x) > 0 pe (1−2,1+2)(1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}), deci f crescătoare; f′(x)<0f'(x) < 0 în rest, deci f descrescătoare.
52 puncte
Studiul convexității: se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0. Deoarece e−x>0e^{-x} > 0, ecuația devine x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0, cu soluțiile x3=2−3x_3 = 2 - \sqrt{3} și x4=2+3x_4 = 2 + \sqrt{3}. Se studiază semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (−∞,2−3)(-\infty, 2-\sqrt{3}) și (2+3,∞)(2+\sqrt{3}, \infty), deci f convexă; f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (2−3,2+3)(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}), deci f concavă.
61 punct
Asimptotele: la +∞+\infty, lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, deci dreapta y=0y=0 este asimptotă orizontală. La −∞-\infty, lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, iar lim⁡x→−∞f(x)x\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} nu este finită, deci nu există asimptotă oblică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.