MediuArii și volumeClasa 11

Problemă rezolvată de Arii și volume

MediuArii și volumeTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Un sector circular de rază RR și unghi la centru α\alpha (măsurat în radiani) este decupat dintr-un disc. Sectorul este rulat pentru a forma un con circular drept. a) Demonstrați că aria sectorului este As=12R2αA_s = \frac{1}{2} R^2 \alpha. b) Exprimați raza bazei conului rr și înălțimea hh în funcție de RR și α\alpha. c) Determinați volumul conului VV în funcție de RR și α\alpha. d) Pentru un disc de rază fixă R=12R = 12 cm, găsiți valoarea unghiului α\alpha care maximizează volumul conului rezultat.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aria sectorului este proporțională cu aria discului: As=α2π⋅πR2=12R2αA_s = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{2} R^2 \alpha.
23 puncte
Lungimea arcului sectorului devine circumferința bazei conului: Rα=2πrR\alpha = 2\pi r, deci r=Rα2πr = \frac{R\alpha}{2\pi}. Înălțimea: h=R2−r2=R1−(α2π)2h = \sqrt{R^2 - r^2} = R \sqrt{1 - \left( \frac{\alpha}{2\pi} \right)^2}.
33 puncte
Volumul conului: V=13πr2h=13π(Rα2π)2⋅R1−(α2π)2=R3α224π24π2−α2V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{R\alpha}{2\pi} \right)^2 \cdot R \sqrt{1 - \left( \frac{\alpha}{2\pi} \right)^2} = \frac{R^3 \alpha^2}{24\pi^2} \sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}.
42 puncte
Maximizăm VV pentru RR fix, considerând funcția f(α)=α24π2−α2f(\alpha) = \alpha^2 \sqrt{4\pi^2 - \alpha^2} cu α∈(0,2π)\alpha \in (0, 2\pi). Derivata: f′(α)=2α4π2−α2−α34π2−α2f'(\alpha) = 2\alpha \sqrt{4\pi^2 - \alpha^2} - \frac{\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}}. Punem f′(α)=0f'(\alpha) = 0 și obținem α2=8π23\alpha^2 = \frac{8\pi^2}{3}, deci α=2π63\alpha = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3} radiani, care dă un maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Arii și volume

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.
Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.
Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?
Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?
Vezi toate problemele de Arii și volume →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.