MediuGeometrie AnaliticăClasa 10

Problemă rezolvată de Geometrie Analitică

MediuGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
În planul cartezian, se consideră cercul CC de ecuație x2+y2−6x−4y+9=0x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0 și dreapta dd de ecuație y=mx+2y = mx + 2, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care dd este tangentă la CC. Pentru m=255m = \frac{2\sqrt{5}}{5}, calculați coordonatele punctului de tangență și aria triunghiului format de centrul cercului, punctul de tangență și originea axelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Ecuația cercului se completează pătratele: x2−6x+y2−4y+9=0⇒(x−3)2−9+(y−2)2−4+9=0⇒(x−3)2+(y−2)2=4x^2 - 6x + y^2 - 4y + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 - 9 + (y-2)^2 - 4 + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y-2)^2 = 4. Deci centrul O(3,2)O(3,2) și raza r=2r=2.
23 puncte
Condiția ca dreapta y=mx+2y = mx + 2 să fie tangentă la cerc este ca distanța de la centru la dreaptă să fie egală cu raza. Dreapta sub formă generală: mx−y+2=0mx - y + 2 = 0. Distanța de la O(3,2)O(3,2) la dreaptă este ∣m⋅3−2+2∣m2+1=∣3m∣m2+1\frac{|m\cdot 3 - 2 + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|3m|}{\sqrt{m^2+1}}. Setăm egal cu 22: ∣3m∣m2+1=2\frac{|3m|}{\sqrt{m^2+1}} = 2.
32 puncte
Rezolvăm: ∣3m∣=2m2+1⇒9m2=4(m2+1)⇒9m2=4m2+4⇒5m2=4⇒m2=45⇒m=±255|3m| = 2\sqrt{m^2+1} \Rightarrow 9m^2 = 4(m^2+1) \Rightarrow 9m^2 = 4m^2 + 4 \Rightarrow 5m^2 = 4 \Rightarrow m^2 = \frac{4}{5} \Rightarrow m = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}.
42 puncte
Pentru m=255m = \frac{2\sqrt{5}}{5}, dreapta este y=255x+2y = \frac{2\sqrt{5}}{5}x + 2. Substituim în ecuația cercului: x2+(255x+2)2−6x−4(255x+2)+9=0x^2 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}x + 2\right)^2 - 6x - 4\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}x + 2\right) + 9 = 0. Calculăm: (255x+2)2=45x2+855x+4\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}x + 2\right)^2 = \frac{4}{5}x^2 + \frac{8\sqrt{5}}{5}x + 4. Înlocuind: x2+45x2+855x+4−6x−855x−8+9=0⇒95x2−6x+5=0⇒9x2−30x+25=0⇒(3x−5)2=0⇒x=53x^2 + \frac{4}{5}x^2 + \frac{8\sqrt{5}}{5}x + 4 - 6x - \frac{8\sqrt{5}}{5}x - 8 + 9 = 0 \Rightarrow \frac{9}{5}x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow 9x^2 - 30x + 25 = 0 \Rightarrow (3x-5)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}. Atunci y=255⋅53+2=253+2y = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{3} + 2 = \frac{2\sqrt{5}}{3} + 2. Deci punctul de tangență T(53,253+2)T\left(\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3} + 2\right).
51 punct
Aria triunghiului OTPO T P unde P(0,0)P(0,0): folosim formula cu determinant: 12∣xO(yT−yP)+xT(yP−yO)+xP(yO−yT)∣=12∣3⋅(253+2)+53⋅(−2)+0∣=12∣25+6−103∣=12∣25+83∣=5+43\frac{1}{2} | x_O(y_T - y_P) + x_T(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_T) | = \frac{1}{2} | 3 \cdot \left( \frac{2\sqrt{5}}{3} + 2 \right) + \frac{5}{3} \cdot (-2) + 0 | = \frac{1}{2} | 2\sqrt{5} + 6 - \frac{10}{3} | = \frac{1}{2} \left| 2\sqrt{5} + \frac{8}{3} \right| = \sqrt{5} + \frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Geometrie Analitică

Ușor#1Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
O antenă parabolică are forma unui paraboloid de rotație. Secțiunea axială a antenei este o parabolă cu ecuația y=ax2y = ax^2. Diametrul antenei este de 4 m, iar adâncimea (distanța de la vârf la planul bazei) este de 1 m. Determinați valoarea coeficientului aa și poziția focală a antenei (distanța de la vârf la focar).
Mediu#2Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
O companie produce două tipuri de articole, A și B. Profitul unitar este de 120120 lei pentru A și 8080 lei pentru B. Producția este limitată de resurse: pentru fiecare articol A se consumă 22 ore de muncă și 33 kg de materie primă, iar pentru B se consumă 11 oră de muncă și 22 kg de materie primă. Disponibilul zilnic este de 100100 ore de muncă și 120120 kg de materie primă. Determinați câte articole din fiecare tip trebuie produse zilnic pentru a maximiza profitul total, folosind metode geometrice sau algebrice.
Mediu#3Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un teren în formă de triunghi are vârfurile în punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3) (coordonate în metri). Se dorește construirea unui drum drept de la punctul D(1,1)D(1,1) la latura BCBC, astfel încât drumul să fie perpendicular pe BCBC. Determinați lungimea drumului și coordonatele punctului de intersecție cu BCBC.
Ușor#4Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
După întâlnire, un vas a mers spre sud și celălalt spre vest. La două ore după întâlnire, cele două vase erau la 60 km distanță unul de celălalt. Determinați viteza fiecărui vas, știind că viteza unuia este cu 6 km/h mai mare decât a celuilalt.
Vezi toate problemele de Geometrie Analitică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.