MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică cu primul termen a1=3a_1 = 3 și rația dd. Știind că suma primilor nn termeni este dată de formula Sn=n(2a1+(n−1)d)2S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}, iar S10=120S_{10} = 120, determinați valoarea lui dd și calculați a20a_{20}. Apoi, considerați funcția f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c unde a,b,ca, b, c sunt termenii consecutivi ai progresiei aritmetice. Dacă f(x)f(x) are rădăcinile x1x_1 și x2x_2 cu x1+x2=10x_1 + x_2 = 10 și x1x2=21x_1 x_2 = 21, găsiți coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din S10=120S_{10} = 120 și a1=3a_1 = 3, avem 120=10(2⋅3+9d)2120 = \frac{10(2 \cdot 3 + 9d)}{2}. Rezolvând, obținem d=2d = 2.
22 puncte
Termenul a20=a1+19d=3+19⋅2=41a_{20} = a_1 + 19d = 3 + 19 \cdot 2 = 41.
33 puncte
Deoarece a,b,ca, b, c sunt termeni consecutivi ai progresiei aritmetice cu d=2d=2, putem scrie b=a+2b = a + 2 și c=a+4c = a + 4. Din relațiile lui Viète pentru f(x)f(x), avem x1+x2=−ba=10x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 10 și x1x2=ca=21x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 21.
42 puncte
Înlocuind, obținem sistemul {−a+2a=10a+4a=21\begin{cases} -\frac{a+2}{a} = 10 \\ \frac{a+4}{a} = 21 \end{cases}. Rezolvând, găsim a=−211a = -\frac{2}{11}, b=2011b = \frac{20}{11}, c=4211c = \frac{42}{11}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.