MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Fie funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. Studiați funcția: determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și punctele de extrem local.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție. Numitorul x−1≠0x-1 \neq 0, deci D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}.
23 puncte
Găsirea asimptotelor. Asimptota verticală: x=1x=1 deoarece lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty. Pentru asimptota oblică, se efectuează împărțirea: f(x)=x+1+1x−1f(x) = x+1 + \frac{1}{x-1}, deci asimptota oblică este y=x+1y = x+1.
33 puncte
Calculul derivatei și studiul monotoniei. f′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}. Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)∪(1,2)x \in (0,1) \cup (1,2). Astfel, funcția este strict crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), strict descrescătoare pe [0,1)[0,1) și (1,2](1,2].
42 puncte
Determinarea punctelor de extrem. Din semnul derivatei, x=0x=0 este punct de maxim local cu f(0)=0f(0)=0, iar x=2x=2 este punct de minim local cu f(2)=4f(2)=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.