MediuProgresii AritmeticeClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Se consideră o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} cu primul termen a1a_1 și rația dd. Știind că a1+a2+a3=15a_1 + a_2 + a_3 = 15 și a12+a22+a32=93a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 93, determinați a1a_1 și dd.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Exprimați termenii progresiei: a1=a1a_1 = a_1, a2=a1+da_2 = a_1 + d, a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d.
23 puncte
Scrieți ecuațiile: a1+(a1+d)+(a1+2d)=15a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 15 și a12+(a1+d)2+(a1+2d)2=93a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 = 93.
35 puncte
Simplificați și rezolvați sistemul: 3a1+3d=153a_1 + 3d = 15 și 3a12+6a1d+5d2=933a_1^2 + 6a_1 d + 5d^2 = 93. Din prima ecuație, a1+d=5a_1 + d = 5, deci d=5−a1d = 5 - a_1. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți 3a12+6a1(5−a1)+5(5−a1)2=933a_1^2 + 6a_1(5 - a_1) + 5(5 - a_1)^2 = 93. Simplificați la a12−10a1+21=0a_1^2 - 10a_1 + 21 = 0, cu soluțiile a1=3a_1 = 3 sau a1=7a_1 = 7. Atunci d=2d = 2 sau d=−2d = -2. Deci soluțiile sunt (a1,d)=(3,2)(a_1, d) = (3, 2) sau (7,−2)(7, -2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.