MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Să se simplifice expresia E=x+2x−1+x−2x−1x−1E = \frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x-1}} pentru x≥1x \geq 1 și să se discute valorile reale ale lui xx pentru care expresia este definită.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinăm domeniul de definiție: x−1>0x-1 > 0, deci x>1x > 1. Verificăm că x+2x−1≥0x+2\sqrt{x-1} \geq 0 și x−2x−1≥0x-2\sqrt{x-1} \geq 0 pentru x>1x > 1, ceea ce este adevărat.
24 puncte
Observăm că x+2x−1=(x−1+1)2=∣x−1+1∣=x−1+1\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} = |\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1 pentru x≥1x \geq 1, și x−2x−1=(x−1−1)2=∣x−1−1∣\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = |\sqrt{x-1}-1|.
34 puncte
Discutăm cazurile: dacă x≥2x \geq 2, atunci x−1−1≥0\sqrt{x-1}-1 \geq 0, deci E=(x−1+1)+(x−1−1)x−1=2E = \frac{(\sqrt{x-1}+1) + (\sqrt{x-1}-1)}{\sqrt{x-1}} = 2; dacă 1<x<21 < x < 2, atunci x−1−1<0\sqrt{x-1}-1 < 0, deci E=(x−1+1)+(1−x−1)x−1=2x−1E = \frac{(\sqrt{x-1}+1) + (1-\sqrt{x-1})}{\sqrt{x-1}} = \frac{2}{\sqrt{x-1}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.