MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorPrimitiveArii și volume
Studiați funcția f:(−1,∞)→Rf: (-1, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1). Determinați domeniul de definiție, asimptotele, monotonie, și calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: Df=(−1,∞)D_f = (-1, \infty) deoarece x+1>0x+1 > 0.
23 puncte
Asimptote: asimptota verticală x=−1x=-1 deoarece lim⁡x→−1+ln⁡(x+1)=−∞\lim_{x \to -1^+} \ln(x+1) = -\infty; nu există asimptote orizontale sau oblice la ∞\infty deoarece lim⁡x→∞ln⁡(x+1)=∞\lim_{x \to \infty} \ln(x+1) = \infty și lim⁡x→∞ln⁡(x+1)x=0\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x} = 0.
33 puncte
Derivata: f′(x)=1x+1>0f'(x) = \frac{1}{x+1} > 0 pentru orice x∈(−1,∞)x \in (-1, \infty), deci funcția este strict crescătoare pe întreg domeniul.
42 puncte
Aria cerută: ∫01ln⁡(x+1)dx\int_{0}^{1} \ln(x+1) dx; calculăm primitiva: ∫ln⁡(x+1)dx=(x+1)ln⁡(x+1)−x+C\int \ln(x+1) dx = (x+1)\ln(x+1) - x + C; evaluăm: ∫01ln⁡(x+1)dx=[(x+1)ln⁡(x+1)−x]01=(2ln⁡2−1)−(0)=2ln⁡2−1\int_{0}^{1} \ln(x+1) dx = [ (x+1)\ln(x+1) - x ]_{0}^{1} = (2\ln2 - 1) - (0) = 2\ln2 - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.