MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăFuncția de gradul al II-lea
Fie șirul (yn)n≥1(y_n)_{n \ge 1} definit prin y1=2y_1 = 2 și yn+1=yn2−2yn+3y_{n+1} = y_n^2 - 2y_n + 3 pentru orice n≥1n \ge 1. a) Demonstrați prin inducție că yn>1y_n > 1 pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Studiați monotonia șirului și determinați limita sa, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru n=1n=1, y1=2>1y_1 = 2 > 1, deci proprietatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că yk>1y_k > 1 pentru un k≥1k \ge 1. Atunci yk+1=yk2−2yk+3y_{k+1} = y_k^2 - 2y_k + 3. Funcția f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 are minimul f(1)=2f(1)=2, iar pentru x>1x>1, f(x)>2>1f(x) > 2 > 1, deci yk+1>1y_{k+1} > 1.
32 puncte
Prin inducție, rezultă că yn>1y_n > 1 pentru orice nn.
43 puncte
Studiem monotonia: yn+1−yn=yn2−3yn+3y_{n+1} - y_n = y_n^2 - 3y_n + 3. Ecuația x2−3x+3=0x^2 - 3x + 3 = 0 are discriminant negativ, deci x2−3x+3>0x^2 - 3x + 3 > 0 pentru orice xx real. Astfel, yn+1−yn>0y_{n+1} - y_n > 0, deci șirul este strict crescător. Deoarece este crescător și nemărginit superior (din recurență, crește rapid), nu are limită finită; diverge la +∞+\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.