MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceTrigonometrie
Fie șirul (bn)n≥0(b_n)_{n \geq 0} o progresie geometrică cu b0=2b_0 = 2 și rația q=13q = \frac{1}{3}. Determinați suma seriei ∑n=0∞bnsin⁡(nπ2)\sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie termenul general al progresiei geometrice: bn=b0⋅qn=2⋅(13)nb_n = b_0 \cdot q^n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n.
24 puncte
Se analizează valorile funcției sinus: sin⁡(nπ2)\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) ia valorile 0,1,0,−1,…0, 1, 0, -1, \dots ciclic. Astfel, suma se reduce la ∑k=0∞b2k+1⋅(−1)k=∑k=0∞2⋅(13)2k+1⋅(−1)k=23∑k=0∞(−19)k\sum_{k=0}^{\infty} b_{2k+1} \cdot (-1)^k = \sum_{k=0}^{\infty} 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2k+1} \cdot (-1)^k = \frac{2}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{9}\right)^k.
33 puncte
Se calculează suma seriei geometrice infinite: 23⋅11−(−19)=23⋅1109=23⋅910=35\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{9}\right)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.