MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveNumere ComplexeTrigonometrie
Folosind numerele complexe, calculați primitiva ∫e2xcos⁡3x dx\int e^{2x} \cos 3x \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem cos⁡3x=Re⁡(e3ix)\cos 3x = \operatorname{Re}(e^{3ix}), deci integrala devine Re⁡(∫e2xe3ixdx)=Re⁡(∫e(2+3i)xdx)\operatorname{Re} \left( \int e^{2x} e^{3ix} dx \right) = \operatorname{Re} \left( \int e^{(2+3i)x} dx \right).
23 puncte
Calculăm ∫e(2+3i)xdx=12+3ie(2+3i)x+C\int e^{(2+3i)x} dx = \frac{1}{2+3i} e^{(2+3i)x} + C, unde CC este constantă complexă.
33 puncte
Simplificăm 12+3i\frac{1}{2+3i} prin conjugat: 12+3i=2−3i(2+3i)(2−3i)=2−3i4+9=2−3i13\frac{1}{2+3i} = \frac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{2-3i}{4+9} = \frac{2-3i}{13}.
42 puncte
Atunci, ∫e(2+3i)xdx=2−3i13e(2+3i)x+C=2−3i13e2x(cos⁡3x+isin⁡3x)+C\int e^{(2+3i)x} dx = \frac{2-3i}{13} e^{(2+3i)x} + C = \frac{2-3i}{13} e^{2x} (\cos 3x + i \sin 3x) + C. Luând partea reală, obținem ∫e2xcos⁡3x dx=e2x(213cos⁡3x+313sin⁡3x)+C′\int e^{2x} \cos 3x \, dx = e^{2x} \left( \frac{2}{13} \cos 3x + \frac{3}{13} \sin 3x \right) + C', unde C′C' este constantă reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.