MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivatePrimitive
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem. c) Calculați lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) și discutați existența primitivei pe domeniu. d) Aflați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 9 pași
11 punct
Domeniul: (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x>0.
22 puncte
Asimptote: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 (se poate folosi substituția x=e−tx = e^{-t} sau regula lui l'Hôpital), deci nu există asimptotă verticală; lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, deci nu există asimptotă orizontală; lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞ln⁡x=∞\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty, deci nu există asimptotă oblică.
31 punct
Derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1.
41 punct
Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>1ex > \frac{1}{e}, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 0<x<1e0 < x < \frac{1}{e}, deci funcția este descrescătoare pe (0,1e)(0, \frac{1}{e}) și crescătoare pe (1e,∞)(\frac{1}{e}, \infty).
51 punct
Punct de extrem: x=1ex = \frac{1}{e} este punct de minim, f(1e)=−1ef\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e}.
61 punct
lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 (calculat la pasul 2).
71 punct
Existența primitivei: funcția este continuă pe (0,∞)(0, \infty) (ca produs de funcții continue), deci admite primitive; de exemplu, o primitivă este F(x)=x22ln⁡x−x24F(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}.
81 punct
Pentru tangenta: f(1)=0f(1) = 0, f′(1)=1f'(1) = 1, deci ecuația tangentei: y−0=1(x−1)y - 0 = 1(x-1), adică y=x−1y = x-1.
91 punct
Verificare sau formulare completă a ecuației tangentei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.