MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definitePrimitive
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Să se determine: a) o primitivă FF a funcției ff; b) valoarea integralei definite ∫0πf(x)dx\int_0^{\pi} f(x) dx; c) monotonia funcției G(x)=∫0xf(t)dtG(x) = \int_0^x f(t) dt pe intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a găsi o primitivă, integrăm prin părți de două ori: alegem u=sin⁡xu = \sin x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, atunci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=−e−xv = -e^{-x}. Obținem ∫e−xsin⁡xdx=−e−xsin⁡x+∫e−xcos⁡xdx\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x dx. Integrăm din nou prin părți pentru ∫e−xcos⁡xdx\int e^{-x} \cos x dx și obținem ∫e−xsin⁡xdx=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+C\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C. Deci, o primitivă este F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CF(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C.
23 puncte
Calculăm integrala definită: ∫0πf(x)dx=F(π)−F(0)=[−12e−π(sin⁡π+cos⁡π)]−[−12e0(sin⁡0+cos⁡0)]=−12e−π(0−1)+12(0+1)=12(1+e−π)\int_0^{\pi} f(x) dx = F(\pi) - F(0) = \left[-\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi)\right] - \left[-\frac{1}{2} e^{0} (\sin 0 + \cos 0)\right] = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2} (1 + e^{-\pi}).
34 puncte
Funcția G(x)=∫0xf(t)dtG(x) = \int_0^x f(t) dt are derivata G′(x)=f(x)=e−xsin⁡xG'(x) = f(x) = e^{-x} \sin x conform teoremei fundamentale a calculului integral. Pe intervalul [0,π][0, \pi], avem sin⁡x≥0\sin x \geq 0 pentru x∈[0,π]x \in [0, \pi], cu egalitate doar la x=0x=0 și x=πx=\pi, iar e−x>0e^{-x} > 0. Astfel, G′(x)≥0G'(x) \geq 0 pe [0,π][0, \pi], cu G′(x)=0G'(x) = 0 doar la capete. Prin urmare, GG este crescătoare pe [0,π][0, \pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.