MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=2x_1 = 2 și xn+1=3xn−2x_{n+1} = 3x_n - 2 pentru n≥1n \geq 1. a) Determinați formula termenului general al șirului (xn)(x_n). b) Arătați că șirul (yn)n≥1(y_n)_{n \geq 1} cu yn=xn−1y_n = x_n - 1 este o progresie geometrică. c) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se consideră șirul auxiliar yn=xn−1y_n = x_n - 1. Atunci yn+1=xn+1−1=(3xn−2)−1=3(xn−1)=3yny_{n+1} = x_{n+1} - 1 = (3x_n - 2) - 1 = 3(x_n - 1) = 3y_n. Deci (yn)(y_n) este progresie geometrică cu rația 3 și y1=x1−1=1y_1 = x_1 - 1 = 1. Astfel, yn=1⋅3n−1=3n−1y_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}, deci xn=yn+1=3n−1+1x_n = y_n + 1 = 3^{n-1} + 1. |
23 puncte
Din step 1, yn=xn−1=3n−1y_n = x_n - 1 = 3^{n-1}, care este o progresie geometrică cu primul termen 1 și rația 3, verificând definiția. |
33 puncte
lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞(3n−1+1)\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (3^{n-1} + 1). Deoarece 3n−1→∞3^{n-1} \to \infty pentru n→∞n \to \infty, limita este ∞\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.