MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1f(x) = x \ln x - x + 1. a) Studiați monotonia funcției ff și determinați punctele de extrem local. b) Calculați ∫1ef(x) dx\int_1^e f(x) \, dx. c) Determinați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=ln⁡xf'(x) = \ln x.
22 puncte
Studiul semnului derivatei: f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=1x=1, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty); funcția este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1, \infty); punctul x=1x=1 este punct de minim local, f(1)=0f(1)=0.
33 puncte
Calculul integralei: ∫1ef(x)dx=∫1e(xln⁡x−x+1)dx=[x22ln⁡x−3x24+x]1e=(−e24+e)−14=−e24+e−14\int_1^e f(x) dx = \int_1^e (x \ln x - x + 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{3x^2}{4} + x \right]_1^e = (-\frac{e^2}{4} + e) - \frac{1}{4} = -\frac{e^2}{4} + e - \frac{1}{4}.
43 puncte
Determinarea ariei: deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [1,e][1,e], aria este egală cu integrala calculată, adică −e24+e−14-\frac{e^2}{4} + e - \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.