MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceLogaritmi
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Știind că ∏k=1nak=2n(n+1)2\prod_{k=1}^{n} a_k = 2^{\frac{n(n+1)}{2}} și ∑k=1nlog⁡2(ak)=n2\sum_{k=1}^{n} \log_2(a_k) = n^2 pentru orice n≥1n \geq 1, determinați rația progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți termenul general al progresiei geometrice: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.
23 puncte
Exprimați produsul: ∏k=1nak=a1n⋅qn(n−1)2=2n(n+1)2\prod_{k=1}^{n} a_k = a_1^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}}.
33 puncte
Exprimați suma logaritmilor: ∑k=1nlog⁡2(ak)=nlog⁡2(a1)+n(n−1)2log⁡2(q)=n2\sum_{k=1}^{n} \log_2(a_k) = n \log_2(a_1) + \frac{n(n-1)}{2} \log_2(q) = n^2.
42 puncte
Rezolvați sistemul format din ecuațiile obținute pentru a găsi q=2q = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.