MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se dă funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2}. a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și punctele de extrem ale funcției. c) Reprezentați grafic funcția.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul de definiție este R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} deoarece numitorul se anulează la x=2x=2. Asimptota verticală este x=2x=2 deoarece lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty.
23 puncte
Pentru asimptota oblică, se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=−2n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = -2, deci asimptota oblică este y=x−2y = x - 2.
32 puncte
Derivata funcției: f′(x)=(2x−4)(x−2)−(x2−4x+3)(x−2)2=x2−4x+5(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-4)(x-2) - (x^2-4x+3)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 5}{(x-2)^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, dar numărătorul x2−4x+5=0x^2-4x+5=0 are discriminant negativ, deci nu există puncte critice.
42 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈R∖{2}x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} (deoarece numărătorul este pozitiv și numitorul pătrat), deci funcția este strict crescătoare pe intervalele (−∞,2)(-\infty,2) și (2,∞)(2,\infty). Nu are puncte de extrem. Reprezentarea grafică trebuie să includă asimptotele și comportarea la limite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.