MediuFuncția de gradul IClasa 9

Problemă rezolvată de Funcția de gradul I

MediuFuncția de gradul I
Fie funcția h:R→Rh: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x)=mx+nh(x) = mx + n. Graficul funcției intersectează axa OxOx în punctul A(a,0)A(a, 0) și axa OyOy în punctul B(0,b)B(0, b). Știind că a+b=5a + b = 5 și că h(2)=4h(2) = 4, determinați mm și nn, apoi calculați perimetrul triunghiului OABOAB, unde O(0,0)O(0,0) este originea.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimăm condițiile geometrice și funcționale. Din h(a)=0h(a) = 0, avem ma+n=0ma + n = 0. Din h(0)=bh(0) = b, avem n=bn = b. Din h(2)=4h(2) = 4, avem 2m+n=42m + n = 4. Și din enunț, a+b=5a + b = 5.
24 puncte
Formăm sistemul de ecuații: {ma+n=0n=b2m+n=4a+b=5\begin{cases} ma + n = 0 \\ n = b \\ 2m + n = 4 \\ a + b = 5 \end{cases}. Substituim n=bn = b în celelalte ecuații: ma+b=0ma + b = 0 și 2m+b=42m + b = 4. Din a+b=5a + b = 5, exprimăm a=5−ba = 5 - b. Substituim în ma+b=0ma + b = 0: m(5−b)+b=0m(5 - b) + b = 0, deci 5m−mb+b=05m - mb + b = 0. Din 2m+b=42m + b = 4, avem b=4−2mb = 4 - 2m. Înlocuim bb în 5m−mb+b=05m - mb + b = 0: 5m−m(4−2m)+(4−2m)=05m - m(4 - 2m) + (4 - 2m) = 0, adică 5m−4m+2m2+4−2m=05m - 4m + 2m^2 + 4 - 2m = 0, simplificând: 2m2+(5m−4m−2m)+4=02m^2 + (5m - 4m - 2m) + 4 = 0, deci 2m2−m+4=02m^2 - m + 4 = 0. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: discriminantul Δ=(−1)2−4∗2∗4=1−32=−31<0\Delta = (-1)^2 - 4*2*4 = 1 - 32 = -31 < 0, deci nu există soluții reale. Aceasta indică o inconsistență; revizuim: din n=bn = b și a+b=5a + b = 5, iar ma+n=0ma + n = 0 devine ma+b=0ma + b = 0. Din 2m+n=42m + n = 4, avem 2m+b=42m + b = 4, deci b=4−2mb = 4 - 2m. Atunci a=5−b=5−(4−2m)=1+2ma = 5 - b = 5 - (4 - 2m) = 1 + 2m. Substituim în ma+b=0ma + b = 0: m(1+2m)+(4−2m)=0m(1 + 2m) + (4 - 2m) = 0, adică m+2m2+4−2m=0m + 2m^2 + 4 - 2m = 0, deci 2m2−m+4=02m^2 - m + 4 = 0, același rezultat. Prin urmare, pentru a avea soluții reale, ajustăm condițiile: de exemplu, dacă a+b=5a + b = 5 și h(2)=4h(2) = 4, cu m,n,a,bm, n, a, b reale, sistemul nu are soluție. Pentru a face exercițiul fezabil, schimbăm a+b=5a + b = 5 în a+b=3a + b = 3 sau similar. Presupunem că enunțul este corect și că există soluții reale; în context, putem considera că se cer soluții complexe, dar la nivel de liceu, se așteaptă reale.
33 puncte
Dacă sistemul ar avea soluții reale, găsim mm și nn, apoi aa și bb, și calculăm perimetrul triunghiului OABOAB ca ∣a∣+∣b∣+a2+b2|a| + |b| + \sqrt{a^2 + b^2}. Pentru soluții reale, din 2m2−m+4=02m^2 - m + 4 = 0, Δ=−31\Delta = -31, deci nu există; dar dacă presupunem mm și nn reale, atunci triunghiul nu poate fi construit. În barem, se punctează identificarea inconsistenței sau ajustarea pentru consistență.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul I

Ușor#1Funcția de gradul IMatematică aplicată
O companie de telecomunicații are două tipuri de abonamente: Abonamentul A are o taxă fixă lunară de 50 lei și o taxă de 0.1 lei pe minut de convorbire. Abonamentul B are o taxă fixă lunară de 70 lei și o taxă de 0.08 lei pe minut. Determinați pentru câte minute de convorbire lunare cele două abonamente au același cost. Apoi, studiați care abonament este mai avantajos în funcție de numărul de minute utilizate xx.
Ușor#2Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Pentru un anumit produs, funcția cererii este Qd=100−2PQ_d = 100 - 2P și funcția ofertei este Qs=20+3PQ_s = 20 + 3P, unde PP este prețul în lei și QQ este cantitatea. Să se determine prețul și cantitatea de echilibru. Apoi, dacă guvernul introduce o taxă de 5 lei per unitate, care va fi noul preț de echilibru plătit de consumatori și cantitatea de echilibru?
Mediu#3Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcțiile f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x+nf(x) = (m-1)x + n și g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=(2−m)x+pg(x) = (2-m)x + p, unde m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Determinați m,n,pm, n, p astfel încât graficul lui ff să fie paralel cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1, graficul lui gg să treacă prin punctul A(−1,4)A(-1,4), iar punctul de intersecție al graficelor lui ff și gg să aibă abscisa egală cu ordonata.
Ușor#4Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Știind că f(1)+f(2)+f(3)=12f(1) + f(2) + f(3) = 12 și f(1)⋅f(2)⋅f(3)=60f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) = 60, determinați aa și bb.
Vezi toate problemele de Funcția de gradul I →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul I cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.