MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−1xf(x) = \frac{x^3 - 1}{x}. Se cere: a) Să se determine asimptotele funcției ff; b) Să se studieze monotonia și să se determine punctele de extrem local ale funcției ff; c) Să se studieze convexitatea/concavitatea funcției ff și să se determine punctele de inflexiune; d) Să se traseze graficul funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea asimptotelor. Calculăm limitele: lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, lim⁡x→0−f(x)=+∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty, deci x=0x=0 este asimptotă verticală. lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x3−1x2=lim⁡x→±∞(x−1x2)=±∞\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 1}{x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} \left( x - \frac{1}{x^2} \right) = \pm \infty, deci nu există asimptotă oblică. lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞(x2−1x)=+∞\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( x^2 - \frac{1}{x} \right) = +\infty, deci nu există asimptotă orizontală.
23 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=2x3+1x2f'(x) = \frac{2x^3 + 1}{x^2}, pentru x≠0x \neq 0. Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>−123x > -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} și x≠0x \neq 0, și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<−123x < -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} (excluzând x=0x=0). Funcția este crescătoare pe (−∞,−123](-\infty, -\sqrt[3]{\frac{1}{2}}] și pe (0,∞)(0, \infty), descrescătoare pe [−123,0)[-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}, 0). Punct de maxim local: x=−123x = -\sqrt[3]{\frac{1}{2}}, f(−123)=3223f(-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}) = \frac{3}{2} \sqrt[3]{2}.
33 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=−2(x3+1)x3f''(x) = \frac{-2(x^3+1)}{x^3}, pentru x≠0x \neq 0. Semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (−1,0)(-1, 0) (funcție convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (0,∞)(0, \infty) (funcție concavă). Punct de inflexiune: x=−1x = -1, f(−1)=0f(-1)=0.
42 puncte
Trasarea graficului: se notează asimptota verticală x=0x=0, punctele de maxim (−123,3223)(-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}, \frac{3}{2}\sqrt[3]{2}), inflexiune (−1,0)(-1,0), intersecția cu axa OxOx la x=1x=1, și comportarea asimptotică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.