MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor are două opțiuni de investiție: prima oferă o dobândă anuală compusă de 4%, iar a doua oferă o dobândă anuală compusă de 6%. El depune aceeași sumă inițială SS în ambele. După câți ani diferența dintre sumele acumulate va depăși 10% din suma inițială SS?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem formula generală a dobânzii compuse: An=S(1+r)nA_n = S(1 + r)^n, unde rr este rata dobânzii sub formă zecimală, iar nn este numărul de ani.
23 puncte
Pentru prima opțiune, A1n=S(1+0.04)n=S(1.04)nA_{1n} = S(1+0.04)^n = S(1.04)^n. Pentru a doua opțiune, A2n=S(1+0.06)n=S(1.06)nA_{2n} = S(1+0.06)^n = S(1.06)^n.
32 puncte
Diferența dintre sume este Dn=A2n−A1n=S[(1.06)n−(1.04)n]D_n = A_{2n} - A_{1n} = S[(1.06)^n - (1.04)^n]. Condiția dată este Dn>0.1SD_n > 0.1S, adică (1.06)n−(1.04)n>0.1(1.06)^n - (1.04)^n > 0.1.
43 puncte
Rezolvăm inegalitatea prin încercări sau logaritmi. Pentru n=4n=4: (1.06)4≈1.262(1.06)^4 \approx 1.262, (1.04)4≈1.170(1.04)^4 \approx 1.170, diferența ≈0.092<0.1\approx 0.092 < 0.1. Pentru n=5n=5: (1.06)5≈1.338(1.06)^5 \approx 1.338, (1.04)5≈1.217(1.04)^5 \approx 1.217, diferența ≈0.121>0.1\approx 0.121 > 0.1. Astfel, după n=5n=5 ani diferența depășește 10% din SS.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.