MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx2f(x) = \frac{\ln x}{x^2}. Determinați mulțimea primitivelor funcției ff. Apoi, calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=f(x)g(x) = f(x), axa OxOx și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Găsim primitiva folosind integrarea prin părți. Notăm u=ln⁡xu = \ln x, dv=1x2dxdv = \frac{1}{x^2} dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=−1xv = -\frac{1}{x}. Atunci ∫ln⁡xx2dx=−ln⁡xx−∫−1x⋅1xdx=−ln⁡xx+∫1x2dx=−ln⁡xx−1x+C=−ln⁡x+1x+C\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C = -\frac{\ln x + 1}{x} + C.
23 puncte
Aria este dată de ∫1ef(x)dx\int_1^e f(x) dx, deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru x∈[1,e]x \in [1,e].
33 puncte
Calculăm ∫1eln⁡xx2dx=[−ln⁡x+1x]1e=(−ln⁡e+1e)−(−ln⁡1+11)=−1+1e−(−1)=−2e+1=1−2e\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx = \left[ -\frac{\ln x + 1}{x} \right]_1^e = \left( -\frac{\ln e + 1}{e} \right) - \left( -\frac{\ln 1 + 1}{1} \right) = -\frac{1+1}{e} - (-1) = -\frac{2}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.