MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiProgresii Geometrice
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin xn=log⁡2(a⋅rn−1)x_n = \log_2( a \cdot r^{n-1} ), unde aa și rr sunt numere reale pozitive. Știind că x1+x3=2x_1 + x_3 = 2 și x2⋅x4=1x_2 \cdot x_4 = 1, determinați aa și rr, apoi calculați suma Sn=x1+x2+⋯+xnS_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem xn=log⁡2(a)+(n−1)log⁡2(r)x_n = \log_2(a) + (n-1)\log_2(r) folosind proprietățile logaritmilor.
23 puncte
Din condițiile date, obținem sistemul: {log⁡2(a)+log⁡2(a)+2log⁡2(r)=2(log⁡2(a)+log⁡2(r))⋅(log⁡2(a)+3log⁡2(r))=1\begin{cases} \log_2(a) + \log_2(a) + 2\log_2(r) = 2 \\ (\log_2(a) + \log_2(r)) \cdot (\log_2(a) + 3\log_2(r)) = 1 \end{cases}.
33 puncte
Notăm u=log⁡2(a)u = \log_2(a) și v=log⁡2(r)v = \log_2(r) și rezolvăm sistemul, obținând u=1u=1 și v=0v=0, deci a=2a=2 și r=1r=1.
42 puncte
Calculăm suma Sn=n⋅log⁡2(a)+n(n−1)2log⁡2(r)S_n = n \cdot \log_2(a) + \frac{n(n-1)}{2} \log_2(r). Pentru a=2a=2 și r=1r=1, avem Sn=nS_n = n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.