MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Să se determine o primitivă a funcției ff și apoi să se calculeze aria suprafeței mărginite de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Găsiți o primitivă FF a funcției ff. Observați că (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}, deci folosiți substituția u=ln⁡xu = \ln x. Atunci, du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, iar integrala devine ∫u du=u22+C=(ln⁡x)22+C\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C. O primitivă este F(x)=(ln⁡x)22F(x) = \frac{(\ln x)^2}{2} (se poate lua C=0C=0 pentru simplitate).
23 puncte
Exprimați aria cerută ca integrală definită: Aria=∫1ef(x) dx=∫1eln⁡xx dx\text{Aria} = \int_{1}^{e} f(x) \, dx = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx.
33 puncte
Calculați integrala folosind primitiva găsită: ∫1eln⁡xx dx=F(e)−F(1)=(ln⁡e)22−(ln⁡1)22=122−022=12\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx = F(e) - F(1) = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.