MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteDerivate
Fie funcția f(x)=x2+2x−1f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 1}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție este R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}, deoarece numitorul trebuie să fie nenul.
23 puncte
Asimptote: verticală la x=1x = 1, deoarece lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty și lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty; oblică la infinit, calculând m=lim⁡x→∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=1n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = 1, deci asimptota este y=x+1y = x + 1.
33 puncte
Derivata: f′(x)=(2x)(x−1)−(x2+2)(1)(x−1)2=x2−2x−2(x−1)2f'(x) = \frac{(2x)(x-1) - (x^2+2)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x-1)^2}. Semnul derivatei: rezolvăm x2−2x−2=0x^2 - 2x - 2 = 0, cu rădăcinile x1,2=1±3x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{3}. Intervalele de monotonie: crește pe (−∞,1−3)(-\infty, 1-\sqrt{3}) și (1+3,∞)(1+\sqrt{3}, \infty), descrește pe (1−3,1)(1-\sqrt{3}, 1) și (1,1+3)(1, 1+\sqrt{3}).
42 puncte
Puncte de extrem: maxim local la x=1−3x = 1-\sqrt{3}, f(1−3)=2(1−3)f(1-\sqrt{3}) = 2(1-\sqrt{3}), și minim local la x=1+3x = 1+\sqrt{3}, f(1+3)=2(1+3)f(1+\sqrt{3}) = 2(1+\sqrt{3}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.