MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteDerivate
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. Studiați funcția ff: determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și convexitate, precum și punctele de extrem.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Domeniul de definiție este R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} deoarece numitorul este zero la x=1x=1.
23 puncte
Asimptote: verticală la x=1x=1 deoarece lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty și lim⁡x→1+f(x)=∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty; oblică: y=mx+ny = mx + n unde m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=1n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = 1, deci y=x+1y = x + 1.
33 puncte
Derivata întâi: f′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}. Semnul derivatei: pozitiv pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty), negativ pentru x∈(0,1)∪(1,2)x \in (0,1) \cup (1,2). Deci ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), descrescătoare pe [0,1)[0,1) și (1,2](1,2].
42 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=2(x−1)3f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}. Semnul: pozitiv pentru x>1x>1, negativ pentru x<1x<1. Deci ff este convexă pe (1,∞)(1,\infty) și concavă pe (−∞,1)(-\infty,1).
51 punct
Punctele de extrem: minim local la x=0x=0, f(0)=0f(0)=0; maxim local la x=2x=2, f(2)=4f(2)=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.