MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx2f(x) = \frac{\ln x}{x^2}. Determinați primitiva FF a funcției ff care satisface F(1)=0F(1) = 0. Apoi calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se aplică integrarea prin părți cu u=ln⁡xu = \ln x și dv=x−2dxdv = x^{-2} dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx și v=−1xv = -\frac{1}{x}. Atunci ∫ln⁡xx2dx=−ln⁡xx−∫(−1x)⋅1xdx=−ln⁡xx+∫x−2dx=−ln⁡xx−1x+C=−1+ln⁡xx+C\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C = -\frac{1 + \ln x}{x} + C.
22 puncte
Din F(1)=0F(1)=0, rezultă −1+01+C=0-\frac{1+0}{1} + C = 0, deci C=1C=1. Astfel, F(x)=1−1+ln⁡xxF(x) = 1 - \frac{1 + \ln x}{x}.
34 puncte
Aria este dată de ∫1ef(x)dx=F(e)−F(1)=(1−1+1e)−0=1−2e\int_{1}^{e} f(x) dx = F(e) - F(1) = \left(1 - \frac{1+1}{e}\right) - 0 = 1 - \frac{2}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.