MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}. a) Determinați domeniul de definiție. b) Studiați existența asimptotelor. c) Aflați intervalele de monotonie și punctele de extrem. d) Reprezentați grafic funcția.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Domeniul de definiție este R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} deoarece numitorul devine zero la x=2x=2.\n
22 puncte
Asimptota verticală: lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty și lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty, deci x=2x=2 este asimptotă verticală. Asimptota oblică: m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x2−1x(x−2)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{x(x-2)} = 1, n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=lim⁡x→∞(x2−1x−2−x)=lim⁡x→∞2x−1x−2=2n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 - 1}{x-2} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x-2} = 2, deci y=x+2y = x + 2 este asimptotă oblică.\n
33 puncte
Derivata: f′(x)=(2x)(x−2)−(x2−1)(x−2)2=x2−4x+1(x−2)2f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2-1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}. Semnul derivatei: f′(x)=0⇒x2−4x+1=0f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0, cu soluțiile x=2±3x = 2 \pm \sqrt{3}. Intervalele de monotonie: funcția este crescătoare pe (−∞,2−3)(-\infty, 2-\sqrt{3}) și (2+3,∞)(2+\sqrt{3}, \infty), descrescătoare pe (2−3,2)(2-\sqrt{3}, 2) și (2,2+3)(2, 2+\sqrt{3}).\n
42 puncte
Puncte de extrem: maxim local la x=2−3x = 2-\sqrt{3}, f(2−3)=2−23f(2-\sqrt{3}) = 2-2\sqrt{3}, minim local la x=2+3x = 2+\sqrt{3}, f(2+3)=2+23f(2+\sqrt{3}) = 2+2\sqrt{3}.\n
52 puncte
Reprezentarea grafică: se trasează asimptotele x=2x=2 și y=x+2y=x+2, punctele de extrem (2−3,2−23)(2-\sqrt{3}, 2-2\sqrt{3}) și (2+3,2+23)(2+\sqrt{3}, 2+2\sqrt{3}), și comportamentul funcției pe intervalele de monotonie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.