MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorLogaritmi
Studiați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2−4x+5)−xf(x) = \ln(x^2 - 4x + 5) - x. Determinați domeniul de definiție, intervalele de monotonie, punctele de extrem, asimptotele și schițați graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea domeniului: se rezolvă inecuația x2−4x+5>0x^2 - 4x + 5 > 0. Discriminantul este Δ=(−4)2−4⋅1⋅5=−4<0\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -4 < 0, iar coeficientul lui x2x^2 este pozitiv, deci inecuația are soluția R\mathbb{R}. Astfel, Df=RD_f = \mathbb{R}.
23 puncte
Calculul derivatei și studiul monotoniei: f′(x)=2x−4x2−4x+5−1f'(x) = \frac{2x-4}{x^2-4x+5} - 1. Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, adică 2x−4x2−4x+5=1\frac{2x-4}{x^2-4x+5} = 1, care conduce la x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0, deci x=3x = 3. Pentru x<3x < 3 și x>3x > 3, derivata este negativă (de exemplu, f′(2)=−1f'(2) = -1, f′(4)=−0.2f'(4) = -0.2), deci funcția este strict descrescătoare pe R\mathbb{R}. Punctul x=3x = 3 este staționar dar nu este de extrem.
32 puncte
Punctele de extrem: deoarece f′(x)<0f'(x) < 0 pe R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\}, funcția nu are puncte de extrem local. Valoarea funcției în x=3x = 3 este f(3)=ln⁡(2)−3f(3) = \ln(2) - 3.
42 puncte
Asimptote: se calculează limitele: lim⁡x→∞f(x)=−∞\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty și lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty. Nu există asimptote orizontale. Pentru asimptote oblice, lim⁡x→±∞f(x)x=−1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = -1, dar lim⁡x→±∞[f(x)+x]=lim⁡x→±∞ln⁡(x2−4x+5)=∞\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) + x] = \lim_{x \to \pm \infty} \ln(x^2 - 4x + 5) = \infty, deci nu există asimptote oblice finite. Nu există asimptote verticale.
51 punct
Schița graficului: se reprezintă o curbă strict descrescătoare pe R\mathbb{R}, care trece prin punctul (3,ln⁡2−3)(3, \ln 2 - 3) și tinde la −∞-\infty când x→∞x \to \infty și la ∞\infty când x→−∞x \to -\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.